A determinánsok tulajdonságai
Tétel 1. Az átültetés során a determináns értéke nem változik.
Következmény. Az azonosítóban lévő sorok és oszlopok egyenértékűek, azaz a karakterláncokra érvényes tulajdonságok oszlopokra is vonatkoznak.
Tétel 2. Ha a meghatározó egy sorának összes elemét megegyezik az azonos számmal, akkor a teljes determinánst meg kell szorozni ezzel a számmal.
Következmény. A sztring konstans faktora a determináns jele lehet.
Tétel 3. Ha a determinánsban két helyet cserélünk, akkor a determináns megváltoztatja a jelet az ellenkezőjére.
Következtetés 1. Az a meghatározó, amelynek két sor egyenlő, nulla.
Következmény 2. Ha két sor arányos a determinánsban, akkor egy ilyen meghatározó egyenlő nullával.
4. Tétel Ha a meghatározó karakterlánc képviseletében a algebrai összege több szempontból meghatározó egyenlő az algebrai összegét meghatározó, amelyben az első meghatározó ebben a sorban kell az első ciklus, a második - a második ciklus, stb
Következmény. Ha a determináns sorai lineárisan függenek. akkor az ilyen meghatározó tényező nulla.
Tétel 5. Ha a determináns egyik sorához hozzáadjuk a másik elem azonos elemeit, ugyanazzal a számmal megszorozva, akkor a determináns nem változik.
9) Kiskorúak és algebrai kiegészítők.
Adjunk egy négyszögletes A méretű mátrixot.
Meghatározás 1. Az adott mátrix k kicsi rendje, ahol k min (m; n), a k-sorrend meghatározója. amelyet az A mátrixból nyerünk (m-k) sorok és (n-k) oszlopok törlésével.
DEFINÍCIÓ 2. Egy további kisebb Mij hogy az elem aij a meghatározója négyzetes mátrix (n -1) érdekében kapott az A mátrix törlésével ez az elem együtt sor és oszlop, amelyben ez található.
Definíció 3. Az Aij algebrai komplementum egy négyzetmátrix aij eleméhez az Aij =.
1. tétel: A meghatározó egyenlő az egyes sorok elemeinek párhuzamos termékeinek összegével az algebrai kiegészítésekkel.
- A determináns kiterjesztése az i. Sorban.
Tétel 2. A determináns bármely sorának elemeinek párhuzamos termékeinek összege az algebrai kiegészítésekkel a másik sor megfelelő elemeihez nulla.
Az n> 3 sorrend meghatározóinak kiszámítása a determináns meghatározó tényezőinek kiszámításához a meghatározó 1. tételének és 5. tulajdonságának segítségével történik.
Mielőtt a determináns megbontja a kényelem érdekében, az egyik oszlop nulla. Ez csökkenti a számítás mennyiségét. Ehhez használja a meghatározó ötödik tulajdonságát. Az egyik sort több számmal megszorozzák, és hozzáadják a többi sorhoz.
10) Az inverz mátrix. Egyediségét.
Definíció 1. A négyzetes mátrix degeneráltnak tekinthető, ha meghatározója nulla, és nem degenerált mátrix.
Meghatározás 2. Az A -1 mátrix inverznek nevezhető a Λn sorrend négyzetes mátrixához, ha A · A -1 = A -1 · A = E.
Tétel 1. Minden nem-generált négyzetes mátrix esetében létezik egy egyedi inverz mátrix.
Bizonyítás. 1 rész (egyediség).
Tegyük fel, hogy az inverz mátrix létezik. Bizonyítsuk be, hogy ez egyedülálló. Tegyük fel az ellenkezőjét, azaz. két inverz mátrix van: A -1 és.
Akkor A · A -1 = A -1 · A = E és A · = · A = E.
Szorozzuk meg a bal oldalon.