Permutációk, az n-edik rend meghatározóinak megalkotása

, ahol az M1k az első sorból és a k-oszlopból származó kezdeti mátrixból kapott mátrix (meghatározó) meghatározója. Meg kell jegyezni, hogy a determinánsok csak négyzetes mátrixokat tartalmaznak, azaz. olyan mátrixok, amelyek sorszáma egyenlő az oszlopok számával. Az első képlet lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámítsuk a mátrix meghatározóját az első sorból, és a mátrix determinánsának az első oszlophoz viszonyított kiszámítására szolgáló képlet is érvényes:

Általánosságban elmondható, hogy a mátrix meghatározója kiszámítható a mátrix bármely sorából vagy oszlopából, azaz a következő képlet tartja:

Nyilvánvaló, hogy a különböző mátrixok ugyanazokkal a determinánsokkal rendelkezhetnek. Az azonosító mátrix meghatározója: 1. A jelzett A mátrix esetében az M1k számot az a1k mátrix elemének további kicsinek nevezzük. Így azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a mátrix minden elemének saját kisebb kiskorúja van. További kiskorúak csak négyzetes mátrixokban léteznek.

Az aij négyzetmátrix tetszőleges elemének további kisebbje az eredeti mátrixból kapott mátrix meghatározójával megegyezik az i-es sor és a j-oszlop törlésével.

A negyedik és magasabb rendű mátrixok determinánsainak kiszámítása nagy számításokhoz vezet, mivel:

hogy megtaláljuk az első rend mátrixának meghatározóját, találunk egy kifejezést egy tényezőből;

egy másodrendű mátrix meghatározójának megtalálásához két kifejezés algebrai összegét kell kiszámítani, ahol minden kifejezés két tényező termékéből áll;

hogy megtaláljuk a harmadik rendű mátrix meghatározóját, akkor egy hat algoritmus algebrai összegét kell kiszámítani, ahol minden kifejezés három tényezőből áll;

A negyedik sorrendű mátrix meghatározó megtalálásához huszonnégy nyúlás algebrai összegét kell kiszámolni, ahol minden kifejezés négy tényezőből áll, és így tovább.

Határozza meg a kifejezések számát, hogy megtalálja a mátrix meghatározóját, algebrai összegben, a faktoriális számítással:
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.

A mátrix meghatározó tulajdonságai:

A mátrix meghatározója nem változik, ha annak sorai oszlopokkal vannak helyettesítve, mindegyik sor azonos számmal rendelkező oszlop, és fordítva (átültetés).
| A | = | A | T

A mátrix meghatározó oszlopai és sorai egyenlőek, ezért a sorokban rejlő tulajdonságok az oszlopokhoz is kielégülnek.

Amikor két sor vagy oszlop átrendeződik, a mátrix meghatározója megváltoztatja a jelet az ellenkezőjére, az abszolút értéket tartva, azaz:

A két azonos sorba tartozó mátrix meghatározója nulla.

A mátrix meghatározója bármely sorozatának elemei közös szorzótényezőjét a determináns jele fölé lehet vonni.

A 3. és 4. számú tulajdonságok következményei:

Ha egy sor (sor vagy oszlop) összes eleme arányos a párhuzamos sor megfelelő elemeivel, akkor a mátrix ilyen meghatározója nulla.

Ha a mátrix meghatározójának sorának vagy oszlopának összes eleme nulla, akkor a mátrix meghatározója nulla.

Ha a determináns egy sorának vagy oszlopának összes eleme 2 szóösszeg összegeként jelenik meg, akkor a mátrix meghatározója a 2-determinánsok összegének a képlet szerint számítható ki: