Vektorok és mátrixok
Ebben a fejezetben figyelembe vesszük a mátrixok (operátorok) alapvető számtani jellemzőit és számítási módszereit. Ismerteti az operátor alapvető numerikus jellemzőit, amely lehetővé teszi, hogy megjósolja az operátor hatását a térben, és lehetővé teszi, hogy tudatosan megoldja a fő problémát - megoldást találjon az űrlap üzemeltetői egyenletére.
A vektorok és mátrixok normái
A vektortérben a következő tulajdonságokat definiálhatjuk a norma tulajdonságaival (az ún. Norma):
A paraméter különböző értékeire különböző normákat kapunk, amelyek közül a legfontosabbak a következők (megfelelő módon):
Az u normák vektortérben egyenértékűek, ha u pozitív állandók vannak. hogy minden elem esetében fennáll az egyenlőtlenség.
Minden térbeli normál egyenértékű. Különösen a következő egyenlőtlenségek tartják fenn:
Az u normák ekvivalenciája azt jelenti, hogy a szekvencia konvergenciája a normában konvergenciaállapotának normál körülmények között és fordítva.
Példa: Számítsa ki egy vektor -ormuszát.
Mivel a mátrixok térsége izomorf a vektortérhez. akkor a szabálynak megfelelően a megfelelő vektorszabályokon alapuló szabályokat is meghatároz
mert . ábrán látható, hogy a norma a mátrix (operátor) a legnagyobb norma vektort hatásával nyert az üzemeltető a normalizált (egységnyi hosszra -norm) vektorok. Az így létrehozott mátrix-normák operátorok vagy a vektorok megfelelő normái alá vannak rendelve. A mátrix alárendelt normája (operátor) az adott operátor hatására deformálódott tér egységgéptől való maximális eltérés (lásd az ábrát). A 2.18. Definícióból következik, hogy az úgynevezett kompatibilitási feltétel teljesül.
Így az alárendelt norma a legkisebb az elfogadott normák között.
Az alárendelt mátrixok (for) algoritmusok számítási formái az alábbiak:
Ezen normák mellett a mátrix euklideszi normáját is tekintjük
Példa: Számítsa ki a mátrix-normákat és euklideszi normát.
Lássuk el a sajátérték meghatározására szolgáló jellemző egyenletet. A meghatározó bal oldali kiterjesztésével megkapjuk a kvadratikus egyenletet vagy. A gyökerei. A legnagyobb sajátérték. Következésképpen ,.
A bevezetett normák egyenértékűek, mert a következő becslések tartják:
A gyakorlati alkalmazás során szükség van a vektorok és mátrixok alárendelt normáinak használatára, azaz. ha például igazolható az egyszerű iterációk módszerének konvergenciája a mátrix normában. akkor az iteratív eljárás befejezésének ellenőrzését a vektor alárendelt normájában kell elvégezni.
a mátrix norma megköveteli a mátrix sajátértékének kiszámítását. ami meglehetősen bonyolult probléma a nagy dimenziók mátrixai számára (lásd alább). Az első becslés, az alárendelt norma helyett, lehetővé teszi számunkra, hogy a vektor normálnak megfelelő egyenértékű euklideszi mátrix normát használjunk.
A kezelői egyenlet megoldása. amint az a második rend SLAE-jének példáján látható, az eredménytelen megoldás instabilitása miatt helytelen lehet (azzal a feltétellel, hogy az inverz operátor létezik). A megoldás határozottan eltér a jobb oldali kis eltérések miatt. Ez azt jelenti, hogy az inverz operátor nagy normával rendelkezik (nagy nyújtási tényező), azaz A mátrixban nagy elemek jelennek meg. Azt mondják, hogy egy ilyen üzemeltető rosszul működik.
Legyen az egyenlet pontos megoldása. a a hozzávetőleges megoldás. Jelezzék - a hozzávetőleges megoldás hibája, és - az eltérés.
mert . azaz a hiba és a maradék az egyenlethez kapcsolódik. ahonnan. Ie a hibát az eltérés határozza meg. Általános esetben téves feltételezni, hogy a maradék kicsinyége a megoldás kis hibájához vezet. Ez nem igaz a rosszul kondicionált üzemeltetők osztályában.
Meg kell határozni az üzemeltető mennyiségi jellemzőit, lehetővé téve a hibaarány és a reziduális ráta közötti kapcsolat megítélését. A gyakorlatban nem az u abszolút értékei érdekesek. és azok relatív változásai és. A fajok értékelése fontos. Keresse meg az együtthatót. amely az üzemeltetőtől függ. mert . akkor. mert . akkor. Sokszorosítjuk ezeket az egyenlőtlenségeket. Kapunk. Osztás ad.
Az együtthatót lineáris invertibilis operátor állapotának (mátrix) nevezik.
Ha a szám nagy, akkor az üzemeltetőt rosszul kell kezelni. A "nagy" vagy "nem nagy" fogalma persze attól függ, hogy az adott probléma megoldódik-e, és hogy pontosan milyen megoldást keres. mert . akkor a feltételesség száma nem kevesebb, mint egy.
Látható, hogy a feltételesség száma függ az üzemeltető normájának megválasztásától. Az üzemeltető sajátértékét tekintve becsüljük.
Mert és. majd és. majd
Az operátor legnagyobb sajátértékének és a legkisebb sajátérték-modulnak a számát a Todd-számnak nevezzük. Ezt jelöli. Az állapot alsó határértéke a következő:.
A Todd szám a legnagyobb semiaxis aránya az operátor szóródási ellipszoidjának legkisebb szemiaxisához viszonyítva. az egyik megfelelő szubsztitúrás legnagyobb koefficiensének aránya a kezelő másik eigenspace al-területének legkisebb nyújtási együtthatójához (lásd az ábrát).
Az irodalomban a kondicionáló számok más definíciói is vannak. ], amelynek valószínűségi jelentése az átlagos négyszöges eltérés aránya.
Mivel a legtöbb a módszerek egyenletek megoldására alapuló szekvenciális konverziós megszorozzuk a bal oldalon a mátrixot, hogy néhány egyszerű formában - az átlós, háromszög, stb akkor meg kell vizsgálni, hogy a szorzótényezők hogyan befolyásolják a feltételességet.
Az alábbi állítások igazak.
Ha a mátrix nem degenerált és. majd a bal oldalon lévő mátrix szorzása nem változtatja meg a mátrix feltételrendszerének számát.
ha és csak akkor, ha. hogy.
A feltételszám invariáns a mátrix többszörözésével egy konstans, vagyis egy .
Megjegyzés: Az üzemeltető rosszul működtethető, még akkor is, ha nem rendelkezik kis sajátértékkel. Másrészt viszont a sajátérték nagyon kicsi abszolút értéke jelenléte feltételezi az üzemeltető rossz feltételességét.
Megjegyzés: Nem igaz, hogy egy rosszul működő üzemeltető szinte degenerált üzemeltető (vagyis). Állapot szükséges, de nem elegendő jele a rossz feltételességnek. Például, fontolja meg a mátrixot. ahol pozitív kis szám, és az egységmátrix elég nagy rendű. . De a meghatározó általában nagyjából nulla, mert .
Geometriailag, szegény berendezés SLAE lehet értelmezni: lineáris altér által megadott egyenletek rendszer akár egyedül „majdnem” párhuzamos vagy kereszteződés alkotnak „szinte” párhuzamos alterét kisebb méretű.
Tekintsük a rendszert. Nem degenerált. Számos feltételessége nagyszerű. A rendszer minden egyes egyenlete egy síkban lévő egyenes egyenletét határozza meg. Látható, hogy a vonalak "szinte" párhuzamosak. A szögegyütthatók közel vannak (és), de nem egyenlők, és következésképpen a vonalak metszi egymást. Az első egyenlet jobb oldali részének 0,1-re történő változása azt jelenti, hogy az első egyenes metszéspontja a tengellyel 0,01-re változik, és az első egyenes párhuzamos fordítását. A vonalak metszéspontja a rendszer új megoldása - szinte párhuzamos egyenes vonalaknál "elfut" a régi megoldásból (lásd az ábrát).