A vektorok és mátrixok normái
A lineáris algebra számítási módszerei közé tartozik a következő problémák megoldása:
1) Lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAU) megoldása.
2) A négyzetes mátrix meghatározóinak kiszámítása A.
3) Az adott A négyzetmátrix esetében az A -1 inverz számítása.
4) A négyzetes mátrix sajátértékek és sajátvektorok meghatározása A.
Sok alkalmazott probléma megoldásában a vektorok normája és a mátrixok normái nagyon hasznosak.
3. meghatározás .1. A vektor normája egy nemnegatív szám, amelyet || jelöli || és megfelel a következő feltételeknek:
A vektor normát különböző módon lehet bevezetni. Leggyakrabban az n-dimenziós aritmetikai tér vektoraihoz
(gömb alakú, skaláris termék generálja és meghatározza a vektor hosszát).
A (3.3) normát a skaláris termék generálja, amelyet a következő képlet adja meg:.
A vektorok skaláris termékéhez a következő kapcsolatok tarthatók:
Ha A szimmetrikus mátrix, akkor =.
Definíció 3. 2. Ha a norma || ||, akkor a mátrix térben megegyező normát normának nevezik
A vektorok (3.1.) - (3.3) normáival összehangoltan a mátrixok normáit a következő képletek
A (3.7) képletben az A T A. mátrix sajátértékét, amely szimmetrikus.
A (3.7) képlet abból a tényből következik, hogy a B szimmetrikus mátrix esetében igazolni tudjuk a reláció érvényességét:
ahol li a B mátrix sajátértékek.
3. meghatározás .4. Azt mondjuk, hogy a vektorok sorozata egy adott normához viszonyítva egy vektorhoz konvergál || ha a reláció = 0 tartja.
A normák egyenértékűségéből || || 1. || || 2 és || Ebből következik, hogy ha vektorok sorozata konvergál valamelyik normában, akkor konvergál a többi normához képest.
Egyetértünk az alábbiakban leírt normákkal || || a fenti normák egyikét jelenti, és ha szükséges, adja meg, melyik.
Továbbá a mátrix normája olyan normát jelent, amely kompatibilis a mátrix normáljával.
Ismeretesek a lineáris egyenletrendszerek megoldásának létezésére és egyediségére vonatkozó elméleti feltételek - a fő meghatározó tényező nem lehet nulla. Ezután megoldást találhat Cramer szabályával, vagy az ismeretlen Gauss eliminálásával. A Gauss-módszer és a Cramer-szabály lineáris algebrai egyenletek rendszereinek közvetlen megoldására vonatkoznak. Lehetővé teszik a véges számú intézkedés számára a rendszer pontos megoldását, feltéve, hogy minden műveletet pontosan, kerekítés nélkül végzik. De a gyakorlatban a rendszer nagy rendjeinél a Cramer szabály túl sok időt igényel a determinánsok kiszámításához. Ha az op-redeliteli számítani hivatalosan, definíció szerint, mivel az összes n! Feltételek, a műveletek száma rendje n! N .Pravilo Cramer gyakrabban a teoretiches-cal kutatás, és szinte nem alkalmazzák a gyakorlatban.
Az ismeretlen Gauss megoldása a lineáris egyenletek rendszereinek megoldására hatékonyabb, mint Cramer szabálya. Ezenkívül hatásos a meghatározó és az inverz mátrix kiszámításánál is.
Számos ismeretlen, néha kiderül, hogy előnyösebb megoldani az egyenletrendszert az iterációs módszerrel, ami megközelíti a rendszer megoldását.