Módszerek az algebrai egyenletek megoldására
stabil lesz, különben belépünk az instabilitás zónájába, amely meglepetésekkel teli. Különösen, mikor
, (3. ábra) időszakos rezgések vannak
a kép bonyolultabbá válik, és kétszeresen periodikus rezgések jelennek meg (2. ábra), a relatív növekedési ütem további növekedésével négyszeres periódust kapunk stb. a
kaotikus rezgéseket figyeltek meg (3.
Így a (2) típusú nemlineáris iteratív képletek sok titkot eltitkolnak, és felfedezésükhöz további vizsgálatokra van szükség minden egyes esetben. Ezenkívül nem mindig lehet értékelni az iteratív folyamat globális konvergenciáját.
Ez a példa, bár ez a (2) képlet speciális esete, hasznos visszajelzéseket eredményez. A fenti iteratív képlet (25) először alakult, hogy tanulmányozza a dinamikáját populációk egyének egy bizonyos típusú, attól függően, hogy a megsemmisítése élőhely és élelmiszer Verhulst nevét viseli.
Látjuk, hogy ugyanaz a matematikai modell tartalmazhatja az alkalmazások különböző aspektusait, ami meglehetősen jellemző az alkalmazott matematika szellemére.
3. Módszerek az algebrai egyenletek megoldására
A fizika, a közgazdaságtan, a szociológia, a biológia és a tudás más területeinek problémáinak legnagyobb része az algebrai egyenletek vagy az egyenletrendszerek megoldását eredményezi.
Annak ellenére, hogy számos közelítő módszer létezik, jelenleg nem létezik általános megközelítés bármilyen nemlineáris egyenlet megoldására, és még inkább egy egyenlet nemlineáris rendszere. Ezért minden egyes esetben meg kell vizsgálni az egyenleteket, és meg kell szerkeszteni a megfelelő algoritmusokat, kombinálva a különböző numerikus módszerek ötleteit. Tehát a nemlineáris egyenlet megoldása jelenleg inkább művészet, mint tudomány. Bár a modern cégek jól ismert szoftvertermékei sok esetben egyszerűsítik a gyökerek keresését.
Lássuk át a főbb ismert és legnépszerűbb módszerek bemutatását. Először is megjegyezzük, hogy a gyökér közelítő értékeinek megtalálásához két problémát kell megoldanunk:
a) a gyökerek szétválasztása, azaz találni elég kis területeket, amelyek mindegyikében gyökér van;
b) a gyökerek pontossággal történő kiszámítása.
3.1 A szegmens felére történő felosztásának módja (a dichotómiás módszer)
Mielőtt megoldaná az egyenletet
meg kell osztanunk egy keresési megoldási intervallumot
, azaz válaszoljon az előző szakasz a) pontjára. Ehhez használjuk a Weierstrass tételt.
Weierstrass tétele: Ha egy intervallum végén a folyamatos működés
a különböző jelek értékeit veszi fel, akkor ezen az intervallumegyenleten (36) legalább egy gyökér van.
Ez a tétel geometrikusan nyilvánvaló tényt fejez ki (4. ábra), amely abban áll, hogy ha a pontokban
A folyamatos függvény grafikonja be van kapcsolva
különböző fél síkokat a tengelyből
, akkor van egy pont
, hogy a függvény grafikája metszi a tengelyt