Mátrix meghatározója és lineáris algebrai egyenletrendszer
Meghatározás: A mátrixok terméke olyan mátrix, amelynek elemei a következő képletekkel számíthatók:
.
A fenti definícióból következik, hogy a mátrixszorzási művelet csak mátrixokra van meghatározva, az első oszlopok száma pedig a második sorok számával.
1) A mátrixok szorzása nem kommutatív, azaz AV ¹ BA akkor is, ha mindkét termék definiálva van. Azonban, ha bármilyen mátrix esetében az AB = BA reláció teljesül, akkor az ilyen mátrixokat kommutatívnak nevezzük.
A legjellemzőbb példa egy olyan mátrix, amely azonos méretű bármely más mátrixra átváltható.
A kommutatív mátrix csak négyzetes alakú mátrix lehet.
A × E = E × A = A
Nyilvánvaló, hogy minden mátrix esetében a következő tulajdonságok érvényesek:
A × O = O; O × A = O,
ahol G a nulla mátrix.
2) A mátrixszaporítás működése asszociatív, azaz. ha az AB és az AB AB termékek definiáltak, akkor BC és A (BC) definiáltak, és a következő egyenlőség áll:
3) A mátrixszaporítás működése disztributív a hozzáadás szempontjából; ha az A (B + C) és (A + B) C kifejezés értelmezhető, akkor:
4) Ha az AB termék definiálva van, akkor minden a számra a következő összefüggés tartható:
5) Ha az AB termék meg van határozva, akkor a B T A T termék definiált, és a következő egyenlőség tartja fenn:
(AB) T = B T A T ahol
az alsó index T jelöli az átültetett mátrixot.
6) Megjegyezzük továbbá, hogy minden tér alakú mátrix esetében det (AB) = detA × detB.
A det (determináns, determináns) fogalma az alábbiakban lesz megvizsgálva.
Definíció. A B mátrixot az átültetett A mátrixnak nevezzük, és az A-ból B-re történő átmenet az átvitel, ha az A mátrix minden egyes sorának elemei azonos sorrendben vannak írva a B mátrix oszlopaiban.
;
Az előző tulajdonság (5) következtében ezt írhatjuk:
(ABC) T = C T B T A T.
feltéve, hogy az ABC mátrixok terméke definiálva van.
A meghatározó értéke: -10 + 6 - 40 = -44.
Mint fentebb említettük, az s sor mátrixának kisebbje az eredeti mátrixelemekből képzett mátrix meghatározó eleme, amely egyes kiválasztott s sorok és s oszlopok metszéspontjában helyezkedik el.
Definíció. Az m'n rendű mátrixban egy kisebb rendű r azt mondják, hogy bázikus, ha nem egyenlő nullával, és az r + 1 és magasabb rendű kiskorúak nullának felelnek meg, vagy egyáltalán nem léteznek, pl. r egybeesik a kisebb számmal m vagy n.
A mátrix oszlopai és sorai, amelyeken az alapmellék áll, szintén alapvetőnek nevezik.
A mátrixban több, különböző rendű kisebb kiskorú lehet.
Definíció. A mátrix alapmellékének sorrendjét a mátrix rangjának nevezik, és RgA jelöli.
Az elemi mátrix transzformációk nagyon fontos tulajdonsága, hogy nem változtatják meg a mátrix rangját.
Definíció. Az elemi transzformáció eredményeként kapott mátrixokat egyenértékűnek nevezik.
Megjegyzendő, hogy az egyenlő mátrixok és egyenértékű mátrixok teljesen más fogalmak.
Tétel. A legtöbb lineárisan független oszlop a mátrixban egyenlő a lineárisan független sorok számával.
mert az elemi transzformációk nem változtatják meg a mátrix rangját, akkor lényegesen leegyszerűsíthető a mátrix rangjának megállapításának folyamata.
Egy példa. Határozza meg a mátrix rangját.
,
=
A rendszer teljes megoldása: x = 1; y = 2; z = 3.
Annak ellenére, hogy korlátozzák a módszer alkalmazási lehetőségeit és a számítások összetettségét az együtthatók nagy értékeire, valamint a nagy rendű rendszerekre, a módszer könnyen megvalósítható számítógépen.
Ez a módszer csak lineáris egyenletrendszerek esetén alkalmazható, ahol a változók száma megegyezik az egyenletek számával. Ezenkívül meg kell határoznia a rendszer koefficienseire vonatkozó korlátozásokat. Szükséges, hogy minden egyenlet lineárisan független legyen, azaz. egyetlen egyenlet sem lenne a többiek lineáris kombinációja.
Ehhez szükség van arra, hogy a rendszer mátrixának meghatározója nem egyenlő 0. det A ¹ 0;
Valóban, ha a rendszer bármely egyenlete a többiek lineáris kombinációja, akkor ha a sor elemeihez hozzáadunk egy elemet a másikhoz, amit egy bizonyos számmal megszorozunk, a lineáris transzformációk segítségével nullás sorozatot kaphatunk. A meghatározó ebben az esetben nulla lesz.
Tétel. Egy n egyenletrendszer n-vel ismeretlen
abban az esetben, ha a rendszer mátrixának meghatározója nem nulla, egyedülálló megoldást talál és ezt a megoldást a következő képletek találják:
D = det A, Di pedig a rendszer mátrixából nyert mátrix meghatározója az i oszlopnak a bi szabad kifejezések oszlopával való helyettesítésével.