A mátrixok egyenértékűsége
A lineáris operátor mátrixának legegyszerűbb formája.
Az A és B mátrixok egyenértékűek, ha vannak Q és T nem-degenerált mátrixok, így A = QBT.
ELMÉLETEK 6.1. Ha a mátrixok egyenértékűek, akkor rangsoruk egyenlő.
Bizonyítás. Mivel a termék rangja nem haladja meg a tényezők sorát, akkor. Mert akkor. A két egyenlőtlenség kombinálásával megkapjuk a szükséges állítást.
TEOREM 6.2. A sorok és oszlopok alatti alapváltozások az A mátrixban blokk formában csökkenthetők, ahol a k sorrendjének mátrixa. és 0 a megfelelő dimenziók nulla mátrixa.
Bizonyítás. Adunk egy algoritmust az A mátrix redukálására a jelzett formára. Az oszlopok száma szögletes zárójelben, a zárójelben pedig a sorszámok jelennek meg.
2. Ha ezután megy a 4. lépésre, akkor menjen a 3. lépésre.
3. Átalakításokat hajtunk végre stringekkel, ahol i = r + 1, ..., m. és oszlopokkal, ahol j = r + 1, ..., n. és. Növelje az r értékét 1-rel, és térjen vissza a 2. lépésre.
4. Ha i = r + 1, ..., m. j = r + 1, ..., n. akkor a végén. Ellenkező esetben találunk i, j> r. hogy. A sorokat és oszlopokat átrendezzük, vissza a 2. lépésre.
Nyilvánvaló, hogy az algoritmus egy egyenértékű mátrixok sorozatát fogja össze, amelyek közül az utolsó rendelkezik a szükséges formával.
TEOREM 6.3. Az azonos méretű A és B mátrixok csak akkor és egyenértékűek, ha sorrendjük egyenlő.
Bizonyítás. Ha a mátrixok egyenértékűek, akkor ezek sorai egyenlőek (6.1 tétel). A mátrixok sorai egyenlőek legyenek. Ezután léteznek olyan nondegenerált mátrixok, amelyeknél r = rgA = rgB (6.2 tétel). Ezért mind az A, mind a B mátrix egyenértékű.
Ennek az alszakasznak az eredményei lehetővé teszik számunkra, hogy megtaláljuk a lineáris operátor mátrix legegyszerűbb formáját és a terek alapját, amelyben a lineáris operátor mátrixa rendelkezik a legegyszerűbb formával.