Nye szabály korlátozza számított számok
Az első figyelemre méltó predel-
Lim sinx / x = 1, vagy lim x / sinx = 1. Tekintettel arra, hogy cos0 = 1, amely szintén lim TGX / x = 1, vagy lim x / TGX = 1
A második figyelemre méltó predel-
lim (1 + 1 / x) x = e vagy lim (1 + x) 1 / x = e
Példák: a) lim sin4x / x = (0/0) = lim sin4x / 4x * 4 * 4 = 1, tk. Lim sin4x / 4x = 1
b) lim sin6x / sin4x- (0/0) = lim sin6x / 6x * 6x * 4x / sin4x * 1 / 4x = 6/4 = 3/2, mint Lim sin6x / 6x = 1, lim4x / sin4x = 1
a) lim (1 + 3x) 1 / x = lim (1 + 3x) 1 / 3x * 3 = e 3-as lim (1 + 3x) 1 / 3x = e
g) lim (3x-1 / 3x + 1) 3 X = (1, végtelen) = lim ((3x + 1) -2 / 3x + 1) 3 X = lim (1 + (- 2) / 3x + 1) 3 x = lim (1 + 9-2) / 3x + 1) 3 x + 1 / -2 * -2/3 x +1 * 3 = e lim -6 x / 3 x +1 = e -2
Az első figyelemre méltó limit funkció
Példa: Lim sin6x / x = lim * 6 sin6x / 6x = 6 * 1 = 6 (mert sin6x / 6x = 1)
második figyelemreméltó limit funkció:
Példa: lim (1 + 5x) 7 / x = (1, végtelen) = (1 + 5x / 1) 7 / X = (1 + 5x / 1) 1 / 5x * 5x / 1 * 7 / x = e 35 ( mivel (1 + 5x / 1) 1 / f = 5x)
4Nepreryvnost funkció egy pont és egy intervallum. Pont diszkontinuitás a funkciók és azok besorolása.
A folytonosság a funkció
1) Egy függvény y = f (x) folytonos a ponton XQ. ha az alábbi három feltétel: 1) a függvény definiált ponton XO és környékén. 2) Van egy véges határérték függvény egy ponton xo. 3) ez a határ értékét a függvény a ponton XO. azaz lim f (x) = f (x0)
2) A funkció y = f (x) folytonos a ponton XQ. ha a következő feltételek teljesülnek: 1) a függvény definiált ponton XO és környékén. 2) vannak véges határok egyoldalú lim f (x) = f (x0 -0) és lim f (x) = f (x0 +0). 3) ezek a határok egyenlő egymással, és egyenlő értékét a függvény a ponton x0. azaz lim f (x) -lim f (x) = f (x0)
3) A funkció y = f (x) folytonos a ponton XQ. ha az alábbi három feltétel: 1) a függvény definiált ponton XO és annak okrestnosti.2) infinitezimális növekmény az érvelés megfelel egy infinitezimális növekmény funkció: lim y = lim (f (X0 + x) -f (X0)) = 0
Ha az f (x) és g (x) folytonos XO. az f (x) + - g (x), c * f (x) (c konstans), f (x) * g (x) és az f (x) / g (x) (feltéve, hogy g ( x0) nem = 0) is folyamatos a ponton XO
Ha a funkció u = q (x) folytonos a ponton XQ. és az y = f (u) folytonos U0 = q (x0), majd az összetett függvény az y = f (q (x)) folytonos xo
Nepreryvnast funkció az intervallum
A függvény y = f (x) nevezik Xia folyamatos intervallumon [a; b]. ha ez a folyamatos minden pontján a szegmens (egy jobbról folytonos, azaz lim f (x) = f (a), és a b pont marad a folyamatos, azaz lim f (x) = f (b ))
Tulajdonságok funkciók folyamatos a szegmensben:
1. ha a funkció y = f (x) folytonos a [a, b], akkor korlátozott ebben az intervallumban (első Weierstrass tétel)
2. ha a funkció y = f (x) folytonos a [a, b], majd ebben az intervallumban, eléri eléri a minimális értékét m és a maximális érték M (a második Weierstrass tétel)
3. ha a funkció y = f (x) folytonos a [a, b], annak végeinél veszi értékeit ellenkező előjelű a szegmens legalább egy ponton úgy, hogy a funkció 0 (Bolzano Cauchy-tétel)
diszkontinuitás pontok és azok besorolása: az a pont, ahol a folytonosság nem ez a helyzet, az úgynevezett pontok diszkontinuitás ezt a funkciót. Ha ho egy pont a folytonossági hiány a y = f (x), akkor nem tart legalább az egyik a három feltétel a folytonosság funkciót.
Osztályozás: 1) pointXQ úgynevezett Xia első fajta folytonossági pontja a függvény y = f (x). Ha ezen a ponton vannak véges határok f (x0 -0) és f (x0 +0), de ezek nem egyenlő f (x0 -0) nem = f (x0 +0). Az érték | f (x0 0) -f (x0 -0) | ahol az úgynevezett ugrást y = f (x) x0.
2) Egy pont X0 egy pont diszkontinuitás eldobható y = f (x), ha ezen a ponton vannak véges határok f (x0 -0) és f (x0 +0), amelyek egyenlők egymással: f (x0 -0) = f (x0 +0), de az y = f (x) értéke nem meghatározott x0 vagy meghatározott, de f (x0 -0) = f (x0 +0) nem = f (x0)
3) Egy pont X0 az úgynevezett másodrendű diszkontinuitási pont a függvény y = f (x) ezen a ponton, ha legalább az egyik egyoldalú határértékek (f (x0 -0) nem = f (x0 +0)) nem létezik vagy végtelen.