A szükséges és elégséges feltétele monotonitás

Monoton függvény - olyan funkció, amely változik azonos irányban.

Funkció növekszik. Ha egy nagy értékű az érvelés megegyezik egy nagyobb értéket a függvény. Más szóval, ha az x értéke növekszik, y értéke is növekszik, ez növekvő függvénye.

Működése csökken. Ha egy nagy értékű az érvelés megegyezik a minimális érték a funkciót. Más szóval, ha a növekedés értéke x-y csökken, ez egy csökkenő függvény.

Ha a függvény növekszik vagy csökken bizonyos időközönként, akkor az úgynevezett monoton ezen intervallumban.

Állandó (monoton), ha nem csökken és nem nő.

Tétel (szükséges attribútum monotónia):

1. Ha egy differenciálható függvény f (x) növekszik egy bizonyos tartományban, annak származékát ezen intervallum nem negatív, azaz.

2. Ha egy differenciálható függvény f (x) esik egy bizonyos tartományon belül, annak származékát ezen intervallumban nem pozitív.

3. Ha a funkció nem változik annak derivált nulla, azaz a .

Tétel (elegendő monotonitás):

Legyen f (x) folytonos a (a, b), és a származék minden ponton, akkor:

1. Ha a belső (a; b) pozitív, akkor az f (x) növeli.

2. Ha a belső (a; b) negatív, f (x) csökken.

3. Ha. akkor f (x) állandó.

A tanulmány szerepel az véglet.

Extremum - maximális vagy minimális érték függvény egy adott készlet. Az a pont, ahol extrémuma érjük nevezzük szélsőérték. Ennek megfelelően, ha a minimum - szélsőérték pont a minimum, valamint ha a legnagyobb - a maximális pontot.

1. Keresse meg a domain a funkció és a szünetekben, amikor a függvény folytonos.

2. Keresse meg a származék.

3. Határozza meg a kritikus pontot, azaz a pont, ahol a származék a funkció nulla vagy nem létezik.

4. Az egyes milyen időközönként kell a régió oszlik meghatározza a kritikus pontok meghatározásához jele származék és a változás természetét, funkcióját.

5. Ami az egyes kritikus pont annak megállapítására, hogy az pontos maximális, minimális, vagy nem egy pont szélsőérték.

Jegyezzük fel a kutatás eredménye függvényében monotónia időközök és szélsőséges.

A legnagyobb és a legkisebb érték a funkciót.

Rendszer megtalálása a legnagyobb és a legkisebb érték egy függvény, amely folytonos az intervallumban.

1. Keresse meg a származék.

2. Keresse meg ebben a szegmensben a kritikus pontokat.

3. Számítsuk ki a függvény kritikus pontjain és a végpontokat.

4. A kiszámított értékeket ki a legalacsonyabb és a legmagasabb.

Konvex és konkáv függvények.

Doug nevű konvex, ha keresztezi annak bármely keresztmetszetének legfeljebb két pontot.

Lines képződött dudor felfelé, konvex, és képződött, felfelé konvex - konkáv.

Geometriailag tiszta, hogy a konvex ív alatt fekszik annak bármely érintő, valamint a konkáv ív - felett tangens.

Az inflexiós pont a funkciót.

Inflexiós pontot hívják ezt pont a vonal, amely elválasztja a konvex ív a homorú.

Az inflexiós pont metszi az érintő a közelében ennek vonal pontjában fekszik mindkét oldalán az érintő.

Interval csökkenő első deriváltjának megfelelő része konvex jellege gráf függvénnyel, és növeli az intervallum - részén konkáv.

Tétel (az inflexiós pont):

Ha a második derivált negatív egész tartományban, az ív a görbe y = f (x), ennek megfelelő intervallumban, konvex. Ha a második derivált pozitív egész tartományban, az ív a görbe y = f (x), amely megfelel ezen intervallum, homorú.

Szükséges attribútuma egy inflexiós pontja:

Ha - abszcissza az inflexiós pont sem. vagy nem létezik.

Elegendő kritériuma az az inflexiós pont:

A pont egy pont a inflexiós vonal y = f (x), ha. és;

A bal oldalán is egy olyan konvex rész a jobb - részén konkáv, míg a bal homorú, és a megfelelő - konvexitás.

Aszimptotájának a grafikon egy egyenes vonal, azzal a tulajdonsággal, hogy a távolság a pont a grafikon e sor nullához az eltávolítása pont a grafikon a származási.

1. Közvetlen nevezzük függőleges aszimptotájának a grafikon y = f (x), ha legalább az egyik a közvetlen érték, vagy egyenlő vagy.

Direkt nem lehet függőleges aszimptóta ha a függvény folytonos egy pontban. Ezért a függőleges aszimptóta kell kérni a pontján abbahagyni.

2. Közvetlen úgynevezett vízszintes aszimptotájának a grafikon y = f (x), ha legalább az egyik a határértékek vagy azonos.

Menetrend funkció csak a megfelelő vízszintes aszimptóta vagy csak balra.

3. Közvetlen úgynevezett ferde aszimptotáját grafikon y = f (x), ha