Meghatározása számsor és konvergencia
A szükséges vizsgálati konvergencia
Let - végtelen számsorozat.
vagy ami ugyanaz, az úgynevezett numerikus sorozat. és száma
- a sorozat tagjainál. Tagja egy véletlen számot az úgynevezett N-edik, vagy egy általános kifejezés a sorozat.
Önmagában a (1) kifejezés nincs külön numerikus nincs értelme, mert összegének kiszámításakor, minden alkalommal van dolgunk csak véges számú feltételeket. Határozza értelmében ez a kifejezés a legtöbb természetesen következik.
Mivel számos (1).
Definíció. A összege az első n elemének a sorozat
Ez az úgynevezett N-edik részösszegként a sorozat. Alkotunk szekvenciájának részleges összegeket:
A korlátlan számának növekedése n összege figyelembe veszi a növekvő számú feltételeket. Ésszerű tehát, hogy ez a meghatározás.
Definíció. Ha van egy véges határérték szekvenciájának részleges összegű (1), a hívott számot és a szám a konvergens nevezzük összeget.
Ha a sorrend nem kívánja korlátozni a szám azt mondta, hogy eltérő. Megjegyezzük, hogy a szám változhat két módja van: 1), 2) ha az ingadozó. Mindkét esetben azt mondjuk, hogy a sorozat nem összeget.
1. példa Tekintsük a sorozat álló kifejezések egy mértani:
ahol - ez az úgynevezett első kifejezés a progresszió, és - a nevezőben.
A részleges összege a sorozatból néz
t. e. több mértani konvergál és annak összege.
Különösen, ha a sorozat konvergál és összegét.
Amikor a sorozat is konvergens és összege.
2) ha, akkor, r. E. A sorozat (2) divergál.
3) ha, majd (2) válik. Ebben az esetben,
és. t. e. elágazik (AT).
4) ha, majd (2) válik. Ez a sorozat
t. e. vibrál nem létezik, ezért a sorozat elágazik (AT).
Összegét számítja ki a számot közvetlenül, definíció szerint, nagyon kellemetlen, mert a nehéz kifejezett számítása részösszegek és megtalálja a határt egy sorozatot. De, ha bebizonyosodik, hogy a sorozat konvergál, összege lehet számítani kb, t. Hogy. A meghatározás a határ egy sorozat, ebből következik, hogy elég nagy. Ezért a sorozat elegendő tanulmány
1) tudni, hogy a technikák megállapítása konvergencia a sorozat megállapítása nélkül annak összegét;
2), hogy képes legyen meghatározni, ahol a részösszegként megközelíti az összege a sorozat bizonyos pontossággal.
A konvergencia a numerikus sorozat van beállítva az elmélet az úgynevezett jelei a konvergencia.
szükséges priznakskhodimosti
Ha a sorozat konvergál, akkor annak általános kifejezés nullához, azaz a. E ..
Ebből következik, hogy ha nem nulla, akkor a sorozat eltér.
2. példa Bizonyítsuk be, hogy a sorozat divergens, ha
összehasonlítása a harmonikus sor. t. e ..
Mivel a határ véges és különbözik nullától, és a harmonikus sor elágazik, akkor eltér, és a szám.
b) A kellően nagy
, Ezért - az általános kifejezés a sorozat, amely össze ezt:
A sorozat konvergál (a Dirichlet sor). így ez a sorozat is konvergens.
c) ezért infinitezimális
cserélje ekvivalens mennyiségű (
Ezután - az általános összehasonlítási alap.
Mivel a határ véges és nem nulla, és elágazik (száma Dirichlet). akkor a sorozat eltér.
Vannak jelei a konvergencia a sorozat, amely lehetővé teszi, hogy közvetlenül megítélni a konvergencia vagy divergencia a sorozat nélkül, összehasonlítva azt a sorozatot, amelynek viselkedés ismert.
Let - znakopolozhitelny számát. Ha létezik. akkor a sorozat konvergál. és ha a sorozat eltér.
Amennyiben a d'Alembert-féle vizsgálat lehetetlenné teszi, hogy megítélje a viselkedését a sorozat. Ebben az esetben egy további vizsgálat, például a megjelölések összehasonlítása.
5. példákban a) és b) a határérték összehasonlító vizsgálat azt találtuk, hogy elágazik és konvergál. Lássuk, hogyan működik ez az ezekkel kapcsolatos sorokat d'Alembert teszt: