alapképlete
Ha bárhol a $ D $ egy koordinátarendszerben $ XOY $ képlet $ I = \ iint \ korlátok _F \ left (x, y \ right) \ cdot dx \ cdot dy $ eladási $ f \ left (x, y \ right ) \ ekv $ 1, akkor, összhangban annak geometriai értelemben, a kettős integrál számszerűen egyenlő a területen $ S $ integrációs régió $ D $, azaz $ S = \ iint \ határok _dx \ cdot dy $. A polár koordinátarendszerben, ugyanez a képlet formájában $ S = \ iint \ határok _> \ Rho \ cdot d \ Rho \ cdot d \ phi $.
Tegyük fel, hogy egy felülete $ Q $ definiált egyenletek $ z = F_ \ left (x, y \ right) $. Számítsuk ki a felületi területeket részének $ Q $, amely vetíti a koordinátasík $ XOY $, hogy $ D_ $, ahol a függvény $ F_ \ bal (x, y \ right) $ folyamatos és folyamatos származékok. Ezután, a kívánt terület lehet kiszámítani a következő képlettel $ S = \ iint \ határok _> \ sqrt \ right) ^ + \ left (\ frac \ right) ^> \ cdot dx \ cdot dy $.
Ha egyenlet felszíni $ Q $ definiáljuk $ x = F_ \ left (y, z \ right) $, vagy $ y = F_ \ left (x, z \ right) $, akkor a megfelelő képlet felületének a következő formában:
Itt $ D_ $ és $ D_ $ - régió, ami az előrejelzések felületére $ Q $ a koordinátarendszerben $ Yoz $ és $ xOz $ volt.
Alkalmazását a gyakorlatban képletek
A zárt régió $ D $ a által meghatározott sík metszésvonala parabola $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + $ 31, két egyenes vonalak pontok $ A $, és $ B $ a $ x_ = $ 3 és $ x_ = $ 6 volt. Ezek a vonalak metszik viszont egy adott tochhe $ C \ left (5,9 \ right) $. A kettős integráció számítani a területen régió $ D $, tekintve, hogy a helyes tengelyirányban $ Oy $.
$ Y_ = 2 \ cdot x_ ^ -16 \ cdot x_ + 31 = 2 \ cdot 3 ^ -16 \ cdot 3 + 31 = $ 1. Kapunk $ A \ left (3,1 \ right) $.
Keresse meg a pont koordinátáit $ B \ left (x_, y_ \ right) $:
$ Y_ = 2 \ cdot x_ ^ -16 \ cdot x_ + 31 = 2 \ cdot 6 ^ -16 \ cdot 6 + 31 = $ 7. Kapunk $ B \ left (6,7 \ right) $.
Találunk az egyenlet a sor $ AC $. Ez áthalad pontok $ A \ left (3,1 \ right) $ és $ C \ left (5,9 \ right) $. A egyenletnek formájában $ y = a_ \ cdot x + B_ $. Szög hányados: $ a_ = \ frac = $ 4, az offset $ B_ = 4/1 \ cdot 3 = $ -11. Végül $ y = 4 \ cdot $ x-11.
Találunk az egyenlet a sor $ CB $. Ez áthalad a ponton $ C \ left (5,9 \ right) $ és $ B \ left (6,7 \ right) $. A egyenletnek formájában $ y = a_ \ cdot x + B_ $. Szög hányados: $ a_ = \ frac = -2 $, offset $ B_ = 9- \ left (-2 \ right) \ cdot $ 5 = 19. Végül $ y = -2 \ cdot x + $ 19.
Az előre meghatározott régió $ D $ van a helyes irányba $ tengelyen Oy $. Az alsó terület határát által alkotott parabola. A felső határ a terület két részből áll: a közvetlen $ AC $ és közvetlen $ CB $. Ezért $ D $ osztott régió két kistérségben ($ D_ $ balra és jobbra $ D_ $) függőleges vonal ponton áthaladó $ C $.
Négyzetek alterületeket alkalmazásával meghatározott kettős integrál $ S = \ iint \ határok _dx \ cdot dy $. Ebben az esetben, a kettős integrál minden egyes airégióra fogják kiszámítani segítségével kettős integrál $ S = \ iint \ határok _dx \ cdot dy = \ int \ határok _ ^ dx \ cdot \ int \ határok _ \ left (x \ right)> ^ \ left (x \ right)> dy $.
Találd meg a területet $ S_ $ bal Kistérség $ D_ $, ami balról egyenes $ x = $ 3, jobb - egyenes $ x = 5 $, alsó - parabola $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $ top - egyenes $ AC $, az egyenlet y = a $ 4 \ cdot $ X-11. Így, $ a = 3 $, $ b = 5 $, $ \ Phi _ \ left (x \ right) = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, $ \ Phi _ \ left (x \ jobbra) = 4 \ cdot $ x-11. Ahhoz, hogy területének kiszámítására $ S_ $ Kistérség balra $ $ D_ végül megkapjuk a szerves $ S_ = \ int \ határok _ ^ dx \ cdot \ int \ határok _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy $.
Először kiszámítjuk a belső szerves $ $ I_, ahol az integráció több mint $ y $, és $ x $ tartják állandó: \ [I_ = \ int \ határok _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy = \ left [y \ right ] _ -16 \ cdot x + 31> ^ = \] \ [= \ left (4 \ cdot X-11 \ right) - \ bal (2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 \ right) = - 2 \ cdot x ^ +20 \ cdot X-42. \]
Most a kapott funkciója $ x $ integrálni kell tekintetében $ x $: \ [S_ = \ int \ határok _ ^ I_ \ cdot dx = \ int \ határok _ ^ \ left (-2 \ cdot x ^ +20 \ cdot x- 42 \ right) \ cdot dx = \] \ [= - 2 \ cdot \ int \ határok _ ^ x ^ \ cdot dx +20 \ cdot \ int \ határok _ ^ x \ cdot dx -42 \ cdot \ int \ határok _ ^ dx = -2 \ cdot \ left [\ frac> \ right] _ ^ +20 \ cdot \ left [\ frac> \ right] _ ^ -42 \ cdot \ left [x \ right] _ ^ = \] \ [= - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ left [5 ^ -3 ^ \ right] +20 \ cdot \ frac \ cdot \ left [5 ^ -3 ^ \ right] -42 \ cdot \ left [5- 3 \ right] = \] \ [= - \ frac \ cdot 98 + 10 \ cdot 16-42 \ cdot 2 \ kb 10.667 \].
Keresse meg a terület $ S_ $ Jobb aldomain $ $ D_, amely kizárólag a közvetlen balra $ x = $ 5, jobbra - egyenesen $ x = $ 6, alul - parabola $ y = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $ top - egyenes $ CB $, amelynek egyenlete $ y = -2 \ cdot x + $ 19. Így, $ a = 5 $, $ b = 6 $, $ \ Phi _ \ left (x \ right) = 2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 $, $ \ Phi _ \ left (x \ jobbra) = - 2 \ cdot x + 19 $. Ahhoz, hogy területének kiszámítására $ S_ $ Jobb aldomain $ $ D_ végül megkapjuk a szerves $ S_ = \ int \ határok _ ^ dx \ cdot \ int \ határok _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy $.
Először kiszámítjuk a belső szerves $ $ I_, ahol az integráció több mint $ y $, és $ x $ tartják állandó: \ [I_ = \ int \ határok _ -16 \ cdot x + 31> ^ dy = \ left [y \ right ] _ -16 \ cdot x + 31> ^ = \] \ [= \ left (-2 \ cdot x + 19 \ right) - \ left (2 \ cdot x ^ -16 \ cdot x + 31 \ right) = -2 \ cdot x ^ +14 \ cdot X-12. \]
Most integrálja $ x $ a kapott funkciója $ x $: \ [S_ = \ int \ határok _ ^ I_ \ cdot dx = \ int \ határok _ ^ \ left (-2 \ cdot x ^ +14 \ cdot X-12 \ right) \ cdot dx = \] \ [= - 2 \ cdot \ frac \ cdot \ left [6 ^ -5 ^ \ right] +14 \ cdot \ frac \ cdot \ left [6 ^ -5 ^ \ right] -12 \ cdot \ left [6-5 \ right] = \] \ [= - \ frac \ cdot 91 + 7 \ cdot 11-12 \ cdot 1 \ kb 4333 \].
Méret mező értéke $ D $ $ S = S_ + S_ = 10.667 + 4.333 = $ 15 kv.ed.
A vízszintes síkban XOY $ $ függőleges hengeres szerkezet. Födémszerkezetek (régió $ D $) egy téglalap csúcsai $ O \ left (0,0 \ right) $, $ M \ left (5,0 \ right) $, $ K \ left (5,7 \ right) $ és $ N \ left (0,7 \ right) $. A tetőszerkezet a formája egy kupola, és ismertetik a következő egyenlet $ z = \ sqrt> + \ sqrt> $. Kötelező a kettős integrál kiszámítására a terület a tető az épület.
A téglalap alakú padló kellős tengely irányában Oy $ $. Közvetlen $ x = a $ és $ x = b $ limit mezőben a tengely irányában $ Ox $ elöl és hátul, ezért, $ a = 0 $, $ b = $ 5. Vonalak $ \ phi _ \ left (x \ right) $ és $ \ phi _ \ left (x \ right) $ limit mezőben a tengely irányában $ Oy $ bal és jobb oldalán, tehát $ \ phi _ \ left (x \ right ) = 0 $, $ \ phi _ \ left (x \ right) = 7 $. Végül $ S = \ int \ határok _ ^ dx \ cdot \ int \ határok _ ^ \ sqrt \ right) ^ + \ left (\ frac \ right) ^> \ cdot dy $.
Így kell kiszámítani a szerves találni a környéken
végül $ S = \ frac \ cdot \ left (99845,86-75938,31 \ right) \ kb 885,46 $ kv.ed.
Problémák kontroll minden tantárgyból. 10 éves tapasztalat! Ár 100 rubelt. 1-jétől nap!
Írunk az olcsó és éppen időben! Több mint 50 000 bizonyított szakemberek
Kapcsolódó cikkek