Meghatározása kettős integrál - studopediya
Feladatok így kettős integrálok.
A probléma a hengerszerű térfogatot. Tekintsünk egy test egy bázissal síkban fekvő, korlátozott felülete és egy hengeres felület, amelynek generátorok, a tengellyel párhuzamos, és ez szolgál egy határa a vezető régió. Ez az úgynevezett hengerszerű testet (hengeres gerenda, vagy egy közös hengeres). Azt akarod, hogy térfogatának kiszámításához hengerszerű.
Hogy oldja meg a problémát, a terület osztjuk önkényesen részekre, a terület, amely szintén jelölt volt. Az egyes elemi régiók () válasszon egy tetszőleges pont és a függvény értékét azon a ponton szorozzuk területén található. Ez a termék megegyezik a térfogata a hengeres test egy bázissal terület és magasságát. Alkotunk az összeg az összes ilyen termék:
Ez az összeg mennyiségét fejezi ki azt a lépést, a hengeres test, körülbelül helyett a hengerszerű,
Hagyja, hogy a átmérőjét az elemi régióban, azaz a legnagyobb távolság két pont között feküdt a határ, és a legnagyobb ilyen átmérőjű - keresztül. Nyilvánvaló, hogy ha a .Obemom össztérfogata a henger lesz a határérték a megfelelő lépésben a test:
A probléma a tömeges lemez. Vegyünk egy sík által határolt területen egy zárt vonal, amelyben az anyag kerül forgalomba sűrűsége. Ez a régió az úgynevezett lamina. Kiszámoljuk a tömege a lemez, feltételezve ismert függvény.
FIELD önkényesen felosztva a régió terület, amely jelöli az azonos szimbólumok. Tegyük fel, hogy az egységnyi területen sűrűsége állandó, és egyenlő a sűrűség egy ponton a területen, azaz a. F .. Ezután a terméket fejezi hozzávetőleges az egység súlyának lemez, és az összeg az összes ilyen termékek - a hozzávetőleges súlya az egész rekordot, vagyis ..
A pontos érték az egész tömeg a lemez, kérjük, olvassa el a határt, ahol - a legnagyobb átmérője területén:
Mindkét probléma vezettek kell megvizsgálni a kétdimenziós integrál összeg
A régió és a limit funkció.
Definíció. A számot hívják a határ az integrál összeg, ha, ha bármely számos megadhatja, hogy ha az egyenlőtlenséget
függetlenül attól, hogy a választás a pontot az elemi területeken.
Definíció. Dupla szerves át a területet a funkció a határa a beépített összeg, ha ha létezik, és nem attól függ, hogy a megosztott terület kiválasztásával pontok:
Ha ez a funkció az úgynevezett integrál és a terület - a beilleszkedés terén.
A kettős integráljának függvényében a terület kijelölt következőképpen:
Megjegyzés nincs bizonyíték arra, hogy létezik egy korlát a beépített összeg, ha a függvény folytonos a zárt térségben, amelynek területe. Ha a határ Riemann összegek létezik, akkor a függvény az úgynevezett integrálható a környéken. Következésképpen minden folyamatos funkció integrálható, beleértve a folytonos függvények integrálható és nem integrálható.
A problémák megoldására a fent tárgyalt, a következő geometriai és fizikai jelentése a kettős integrál:
1. geometriai jelentése: kettős integrálja a régió r egyenlő térfogatú hengerszerű egy bázis, amely behatárolja a felső felület
2. A fizikai értelmében a kettős integrál: ha egy nem-negatív függvénye kifejezi a sűrűsége a felület a lemez, akkor a tömege megegyezik a kettős integrál egy adott funkció a pályán