A görbülete és torziós görbét
tulajdonságaival összefüggő a görbe.
Vektor - egységvektor pontját érintő. Az egész görbe kapunk egy vektor funkció.
A vektor neve vektor görbületi ponton.
Ez az úgynevezett a görbület a görbe egy ponton. Az egész görbe egy paraméter függvényében. Szóval
Tétel. Sima vonal egy egyenes vonal, vagy annak egy részét akkor és csak akkor.
?? ) Legyen - közvetlen vagy annak egy részét. Akkor hol - a készülék irányvektor a sor - a természetes megoldás. Found.
) Legyen a görbe, és adott. Aztán. Megoldjuk ezt differenciálegyenlet-rendszert: ahol - néhány állandók. Továbbá, - állandók. Ez paraméteres egyenleteket a sor vagy annak egy részét. ??
Ezután vesszük a görbék, amelyek a görbület. Építünk egy keretben. Ezt a vonalat nevezzük a fő normális a görbe azon a ponton, M. A vektor neve az egység vektort a fő normális. Akkor sem.
Vektor neve egy egységvektor binormals. Ezt a nevet a tény indokolja, hogy a definíció szerint a vektor termék vektorok. Közvetlen binormal hívják.
Tehát egy tetszőleges M fűz kaptunk jobb ortonormált keret, amely az úgynevezett kanonikus keret az M pont és a mozgó keret. Koordinátasík ennek a keretnek nevezzük: - simuló sík - merőleges síkban, - egyengető síkban.
Most találtunk összefüggést vektorok között mozgatható keret és származékaik.
Tudjuk, hogy. Ezután, a Lemma §1 vektorral elbontjuk csak vektorok a mozgó keret :. Találunk az arány. Megkülönböztetünk identitását. Aztán. Mi helyettesíti a kifejezéseket a származékok: (Itt kihasználtuk, hogy). Így mind. Továbbra is az, hogy megtaláljuk. Mi különbözteti meg az identitás :.
Tehát van három identitás ,. Ezek az úgynevezett .Frene. Száma meghatározott minden egyes görbe az M pont, az úgynevezett torziós görbe ezen a ponton. Ha megváltoztatja a pontok száma a görbe változások és megkapjuk a funkciót.
Képletek kiszámításához a görbülete és torziós a görbe megadott parametrizálási.
Amint azt fentebb láttuk.
Formulákat torziós. Differenciálás az első képlet Frenet. Aztán. Kiszámoljuk a kevert termék. Ahonnan kapjuk.
Képletek kiszámításához a görbe görbülete és torziós bármelyikében meghatározott paraméterezése. Let - egy sima görbe. Tekintsük csere lehetőség. Ezután - a paraméteres egyenleteket a görbe a parametrizálási. Keressünk
Aztán. Továbbra is, hogy ebből a képlet a torziós.
. Kiszámítható.
Megjegyzés. Egy adott görbe vektorok meghatározásához bizonyos vektor funkciója az ív hossza a görbe. Tehát mintha egy görbe, akkor kap egy bizonyos funkciót. Ezek az egyenletek az úgynevezett természetes egyenletek a görbe. vannak tételek
Tétel (létezés). Hagyja, két sima függvények, ahol a függvény nem negatív és nem azonosan nulla. Aztán ott van a görbe melyik lesz az ív hosszát - a görbület - torziós.
Tétel (egyediségét). Természetes egyenletek határozzák meg egy görbét egyedileg akár egy térbeli helyzetét.
Más szóval, ha tudjuk, hogy a funkciókat, majd integrálásával Frenet egyenletek találunk a paraméteres egyenleteket a görbe, amelyre ezek a funkciók, illetve a görbülete és csavarással szemben. Ebben az esetben minden döntést Frenet egyenletek megfelelő különböző értékek állandók integráció egybevágó görbék.
Példa. Tekintsünk egy közös spirál. Ez kapunk pályája mozgás egy pont körül egyenletesen forog egy adott sorban, és egyenletesen mozog ezen a vonalon. A felszállás tengely megadott sort.
Találunk a törvény a mozgás M. Tegyük fel, hogy időt vesz igénybe a helyzetben, P - a merőleges vetülete az M pont a síkon. Ha M körül forgatjuk a P pont egyenletesen forog egy kört egy síkban. Tegyük fel, hogy az elején a mozgás. Mivel a mozgás egyenletes, arányos az utazási idő. Az egyszerűség kedvéért veszünk egy arányossági tényező értéke 1. Ekkor.
Mivel M mozog egyenletesen tengelye körül arányban a mentén történő elmozdulás idő, azaz.
Tehát M mozog a törvény.
Nyilvánvaló, hogy ez egy sima vonal. Sőt, annak hangolják folyamatosan a parciális deriváltjai bármilyen sorrendben, és a feltétel a rendszeresség.
Mi tulajdonságainak tanulmányozására hétköznapi spirál.
Az első két egyenlet azt jelenti, hogy minden egyes pontja a görbe, ezért a görbe egy egyenes körhenger.
Találunk a mozgó keret, görbülete és torziós spirál.
. Mi az a szög között az egyenes vonalú alkotó MR és vektor. Kiszámítható. Így, a spirális vonal keresztezi a egyenes vonalú generátorok állandó szögben. Engedje meg, hogy először Frenet egyenletek. Kiszámítható. Mivel mind - az egység vektor az utolsó egyenlet és szerezzen.
Tekintsük a vektor. Ami azt jelenti, hogy a normális merőleges fő tengelye a henger.
Valóban ,. Így a kanyargó állandó és jel egybeesik a jele az állandó.
Megjegyzés. Rendes csavar vonal egy speciális esete a kellően széles osztály vonalak, amelyek úgynevezett Bertrand görbék.
Definíció. Sima görbe az úgynevezett görbe Bertrand, ha van más sima görbe és a kijelző neki, hogy minden pár megfelelő pontokat, és teljes elsődleges normális.
Tulajdonságok Bertrand görbék lesz szó a szemináriumon.
oldal 1
A görbülete és torziós görbét. Frenet keret
49.49kb. 1 p.
§11. A görbület egy görbe a felületen. A másik alapvető formája felület
47.49kb. 1 p.
Határozat. Kiszámítjuk a torziós a görbe található. Nyilvánvalóan. azaz a görbe lapos.
59.3kb. 1 p.