A permutációs mátrix
Úgy véljük, a mátrix szorzás eredménye, amelyen a derékszögű mátrix permutációja a sorok vagy oszlopok.
Ha az egység mátrix, hogy módosítsa a sorrendben a sorok, a kapott mátrix nevezzük permutációs mátrix. Más szavakkal, egy négyzetes mátrix, minden sorban és minden oszlopban, amelyek közül csak az egyik elem nem nulla, és egyenlő az egység az úgynevezett permutációs mátrix.
Közvetlen számítás könnyen ellenőrizhető a következő tulajdonságokkal permutációs mátrix.- Bal szorzás permutációs mátrix egy derékszögű mátrix Egy vezet egy permutációja a sorok a mátrix A.
- Szorzás jobb permutációs mátrix egy derékszögű mátrix Egy vezet egy permutációja a mátrix oszlopait A.
Így, ha az i-edik sorban permutációs mátrix P egység található j-edik oszlopban, a szorzás a P mátrixot által hagyott az A mátrix a mozgást eredményező A mátrix j-edik sorának az i-edik sorban helyzetben.
Hasonlóképpen, ha az i-edik oszlop a permutációs mátrix P egység található j-edik sorban, a szorzás a P mátrixot, hogy a közvetlenül a mátrix eredményeket az elmozdulás a j -edik oszlop A mátrix helyzetben i -edik oszlop.
Ha a permutációs mátrix P nyerik az egység mátrix E cseréje által dvuz vonalak (vagy két oszlop), ez a mátrix az úgynevezett elemi permutációs mátrixot.
Megszorozzák a bal elemi permutációs mátrix egy permutációs mátrix megfelelő mátrix sorai a A.
Szorzás jobb elemi permutációs mátrix az A mátrix vezet a csomópont az adott mátrix oszlopait A.
Bármely permutációs mátrix P, van a következő tulajdonságokkal:
ahol - az átültetett mátrixa permutációk; E - az identitás mátrix.
ahol - delta Kronecker.
Terema 1. egy permutációs mátrixokat a ugyanabban a sorrendben egy permutációs mátrix.
2. tornyok permutációs mátrix az n rend leírható, mint a termék (n - 1) általános permutációs mátrixok.
3. A négyzet alakú tornyok elemi permutációs mátrix az identitás mátrix.
A bizonyítás ezen állítások marad az olvasó számára.