szinguláris mátrix
Egyenértékű feltételek degenerációja [szerkesztés | szerkesztés wiki szöveg]
A különböző fogalmak lineáris algebra. okozhat a különböző körülmények között degenerációja:
- Sorok vagy oszlopok a mátrix lineárisan függ. Más szóval, a degenerált mátrixban van legalább két sor (vagy két oszlop) x i _ >>> és X j. _ >>> teljesítik azt a feltételt egy x i = x j. _ = _ >>>>> ahol egy - skalár. Pontosabban, degenerált bármilyen négyzetes mátrix, amely nulla oszlopban vagy sorban.
- A négyzetes mátrix szinguláris, ha, és csak akkor, ha. ha van egy nem nulla x vektor. úgy, hogy a x = 0. Más szavakkal, a lineáris operátor. megfelelő mátrixhoz a standard alapján, hogy van egy nem zéró kernel.
- A négyzetes mátrix szinguláris, ha, és csak akkor, ha. ha van legalább egy nulla sajátérték # X03BB; = 0. Ez következik az egyenlet, amely kielégíti az összes sajátértékek: det (A # X2212; # X03BB; E) = 0 (ahol E - egység mátrix), valamint az a tény, hogy a determináns a mátrix megegyezik a termék a maga sajátértékek.
Tulajdonságok [szerkesztés | szerkesztés wiki szöveg]
- Nincs egységes szinguláris mátrix inverz mátrix. Ugyanakkor van egy szinguláris mátrix pszeudo-fordított mátrix (általánosított inverz mátrix), vagy akár végtelen számú őket.
- Rank degenerált mátrix kisebb, mint a mérete (sorok száma).
- A terméket a degenerált mátrix és bármely négyzetes mátrix, az azonos méretű ad egy degenerált mátrixot. Ez következik a tulajdonságait det (A B) = det (A) # X22C5; det (B). Egyes szám mátrix, emelt bármely egész pozitív energia marad egyedülálló. A termék bármilyen számú mátrixok degenerált akkor és csak akkor, ha legalább az egyik tényező degenerált. nonsingular mátrix termék nem degenerált.
- Átültetés szinguláris mátrix hagyja degenerált (átültetése óta nem változik a meghatározó, det (A T) = det (A)) = \ det (A)>).
- Singular mátrix szorzás skalár hagyja degenerálódnak (mivel det ( # X03B1; A) = # X03B1; N det (A) = 0 \ det (A) = 0>. ahol n - a méret a degenerált mátrix α - skalár).
- Konjugát transzponált degenerált degenerált mátrix (mivel a determináns konjugát transzponált komplex konjugátumot a meghatározója az eredeti mátrix, és ennek következtében nulla).
- Federal (kölcsönös, adjoint) mátrix degenerált degenerált mátrix (ez következik a tulajdonságait az unió a mátrixok det (mn # X2061; (A)) = (det A) n # X2212; 1 (A)) = (\ det A) ^>). A termék egy szinguláris mátrix rá rokon mátrix közli nullmátrix. A # X22C5; mn # X2061; (A) = mn # X2061; (A) # X22C5; A = 0. (A) = \ operatorname (A) \ cdot A = 0,> mert bármely négyzetes mátrix # X22C5; mn # X2061; (A) = mn # X2061; (A) # X22C5; A = det (A) # X22C5; E. (A) = \ operatorname (A) \ cdot A = \ det (A) \ cdot E.>
- Háromszögű (és különösen, átlós) mátrix szinguláris, ha, és csak akkor, ha legalább az egyik eleme a fő diagonális nulla. Ez abból a tényből következik, hogy a determináns egy háromszög mátrix a termék az elemek annak fő átlós.
- Ha az A mátrix szinguláris, akkor a rendszer az egyenletek A x = 0 nulla megoldásokat.
- Csere sorok vagy oszlopok degenerált mátrix ad egy degenerált mátrixban.
- Degenerált mátrix, tekinthető lineáris operátor. Ez azt mutatja, vektortér egy altér kisebb méretű.
Különleges esetekben [szerkesztés | szerkesztés wiki szöveg]
A degenerált mátrixok különösen:
- null mátrix (álló nullák);
- Mátrix egységek (amely az összes közül) sebességgel n> 1;
- Nilpotens mátrix (mátrix, bármely természetes mértékű, amely a nulla mátrix);
- eltolódás mátrixok (mátrixok részhalmaza Nilpotens);
- Vandermonde-determináns. ha legalább két a paraméterei ugyanazok;
- Gell-Mann mátrixok a szabványos reprezentációját (kivéve λ8);
- Laplace-mátrix (más néven Laplace mátrix) - mátrix ábrázolását a grafikon.