Megoszlása valószínűségi változók
El lehet képzelni a megoszlása a véletlen változó, mint a levelezés a készletek és valószínűségek.
Megoszlása valószínűségi változók az alapvető objektumok tanulmány az elmélet a valószínűség. Nem fogunk, mint a szabály, érdekelt sem a különböző tevékenységek és működnek, pontosan hogyan elemi eredményeket összehasonlítja azok lehetséges értékeit. Mi lesz egyre érdekel valami a sor valószínűségek, amelyek ezeket az értékeket veszik. Néhány példa a teljesen különböző valószínűségi változók, amelyek azonos elosztó (egyenletesen elosztva).
1. Amikor a megfelelő érmét dobott. A tér két elemi események # 151; kabátot és farokkal. Mint algebra tartjuk a készlet minden részhalmaza. Valószínűség megkérdezni, hogy a klasszikus rendszerben. Mi határozza meg a két véletlen változó, és így: legyen
= 1, ha = címer. u = 0, ha = farok;
= 0, ha = címer. és = 1, ha = farok.
Nyilvánvaló, hogy minden sor valószínűségek és tartoznak azonos. Mindazonáltal az olyan elemi eredmény értékek és nem egyeznek. Ie azonos eloszlású. de nem ugyanaz, (függvényében).
2. véletlen pont elkapja a [0, 1]. Ebben az esetben ez a [0, 1] a szigma-algebra Borel készletek és Lebesgue intézkedés. Mint az olvasó, hogy ellenőrizze, hogy a két teljesen különböző funkciókat, és (a távolság a csökkenő pont a bal és a jobb szegmens végpontok, rendre) egyenlő valószínűségek értékeket vehetnek bármely Borel tartói (valószínűsége egyenlő Lebesgue kereszteződés készletek és [0, 1]). Így, ezek a valószínűségi változók ismét egyforma eloszlású, de nem azonos: csak azok értékeit egybeesik a végén egy elemi = 0,5 (grafika rajzolására és funkciók).
3. Ugyanakkor intervallumot [0, 1] építésére két funkciót: = 0 minden; = 0 az összes, de a = 0,5, és egy pont = 0,5 készlet = # 151; 17.
Mivel a Lebesgue mértéke egy pontot (ami a # 151; valószínűség) nulla, az értékek eloszlásának és ugyanaz. Most és újra ugyanaz, mint a funkció, de különböznek a értékek csak egy sor valószínűsége nulla (csak pontban 0,5). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az azonos „szinte biztosan”. .
Bemutatjuk a különböző disztribúciók valószínűségi változók. Minden valószínűség masszát koncentrálódik néhány pontot a sor, akkor lehet „maszatos” egy bizonyos intervallum, vagy az egész vonalon. Attól függően, hogy milyen típusú a beállított, melynek középpontjában az egész egység valószínűségi tömegeloszlású van osztva különálló, abszolút folytonos, szinguláris, és ezek keverékei.
29. meghatározása Cluchaynaya érték diszkrét eloszlású, ha van egy véges vagy megszámlálható számok halmaza úgy, hogy
Így egy véletlen változó diszkrét eloszlású, ha nem több, mint egy megszámlálható számú érték. ezeket az értékeket is nevezik atomok: az atom az a pont, amikor.
Ha egy valószínűségi változó diszkrét eloszlású, bármilyen
Diszkrét eloszlás kényelmes adja meg a következő táblázatot, amelynek során:
30. meghatározása Cluchaynaya érték abszolút folytonos eloszlású, ha van egy nem-negatív függvény, hogy minden Borel halmaz a következő egyenletet:
Funkció úgynevezett véletlen változó sűrűség.
Megjegyzés 11. A fenti integrál egy Lebesgue integrál, és nem a Riemann. Elég, ha az olvasó nem ismeri a Lebesgue integrál, majd azt bemutatja magát egyszerűen alatti terület a grafikont a integrandus át a készüléket. A terület több mint a beállított, amelynek nulla Lebesgue nulla. Jegyezzük meg, hogy minden olyan funkciót, amely eltér a funkciója csak véges számú pontot vagy a számláló (vagy egy sor Lebesgue nulla) ugyanaz lesz eloszlást, mivel az integrál nem változik megváltoztatásával az integrandus egy sor intézkedés nulla.
Tétel 17. A sűrűség eloszlása a tulajdonságai:
. Bizonyítás (f1) kialakítva, hogy meghatározza a sűrűség, (f2) is következik, a meghatározás:
Ez a két tulajdonságok teljesen jellemzik az osztály a sűrűségek:
Tétel 18. Ha a funkció tulajdonságokkal (f1) és (f2). akkor van egy valószínűségi tér és véletlen változó rajta, melyek sűrűsége forgalmazás.
Bizonyítás. Tegyük fel, van egy körülzárt terület az x-tengely, és a függvény grafikonját. A területet a mező megegyezik az egyik tulajdonság (f2). enged # 151; készlet Borel részhalmaza és # 151; Lebesgue (terület) a sor. Hagyja, hogy a valószínűségi változó abszcisszájának pontot véletlenszerűen dobott ezen a területen.
Ezután minden igaz:
Van terület egy görbe vonalú trapéz a grafikon alatt sűrűsége a bázis. A definíció szerint a (10) egyenlet azt jelzi, hogy a funkció egy valószínűségi változó sűrűség eloszlását.
7. Ha az ingatlan egy véletlenszerű változó abszolút folytonos eloszlású, akkor minden.
Bizonyítás. A bizonyíték közvetlenül következik a meghatározása a 30 és 11. A megfigyelések, mint integrálásával szerves területe, amely egyetlen ponton nulla.
Akkor jelöljön ki egy másik speciális csoportját eloszlás koncentrált, ellentétben a abszolút folytonos eloszlások, egy sor Lebesgue nulla, de nincs, ellentétben a diszkrét atom bármely pontján ez a készlet.
Definíció 31. Azt mondjuk, hogy egy valószínűségi változó egy egyedülálló eloszlása, ha van egy Borel halmaz nulla Lebesgue ilyen, de minden ponton.
Megjegyezzük, a következő tulajdonság szinguláris eloszlások. Állítsa be, ami az összes eloszlás koncentrált, nem állhat véges vagy megszámlálható pontok számát. Valóban, ha a tanfolyam vagy megszámlálható. ahol az összegzés az egész. Az utóbbi összeg egyenlő nullával összegeként megszámlálható nullák száma, ami ellentmond a feltételezést.
Így minden egyes szám eloszlás koncentrálódik a megszámlálhatatlan halmaz nulla Lebesgue. Egy példa egy ilyen set szolgálhat tökéletes Cantor-halmazt. és egy példát egy ilyen elosztó # 151; Cantor lépcsőház (hogy megtudja, mi az!).
Végül, az eloszlás lehet konvex kombinációja diszkrét, folyamatos és tökéletesen szinguláris eloszlások.
32. meghatározása azt mondják, hogy a véletlen változó vegyes forgalmazás, ha vannak valószínűségi változók, és # 151; diszkrét, folyamatos és tökéletesen szinguláris eloszlások rendre (vagy három ilyen eloszlás), és a szám, hogy minden következő egyenlet érvényes:
Szerint adja meg a valószínűségi mezőn valószínűségi változók, és a számok is építeni egy véletlen változó, vegyes elosztó: Legyen # 151; valószínűségi változó diszkrét eloszlású azonos valószínűségi mezőn olyan, hogy minden egyes esetben és független.
Készítünk egy véletlen érték a következő: mikor, hol. Ennek megoszlása megtalálják a teljes valószínűség formula.
Mivel a függetlenség események jegyében az egyes valószínűségek
Más típusú eloszlás, kivéve a fent felsorolt, van (bizonyított Lebesgue).