A származék egy komplex funkció 1
Nézzük először a fogalom egy összetett függvény. Legyen a függvény \ (g \) halmazán megadott \ (X \) és értékeket vehet a set \ (U \). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény \ (g \) megjeleníti több \ (X \) a \ (U \), és a funkciót kerül rögzítésre \ [u = g \ left (x \ right), \; \; \ szöveget \; \ x \ x, u \ amerikai egyesült \] Tegyük fel most, hogy a beállított \ (u \) kap egy másik funkció \ (f \), amely megjeleníti több \ (u \) a \ (Y \) : \ [y = f \ bal (u \ right), \; \; \ szöveg \; \; u \ u, Y \ Y. \] az ilyen kettős kijelző, ahol a értéktartományt az első térkép egy részhalmaza a domain a második leképezési nevű készítmény térképeket. és a megfelelő funkciókat készítményt nyerjük funkciókat.
Ha a \ (g: X \ U \) és \ (f: U \ Y \), majd a készítményt funkciók \ (g \) és \ (f \) jelölik \ [y = \ left (\ right) \ bal (x \ right) = f \ left (\ right) = f \ bal (u \ right) \], és a jelentése "kétrétegű" bonyolult funkció vagy a funkció a funkciót.
Ha \ (f \) és \ (g \) - differenciálható függvény, akkor az összetett függvény \ (y = f \ left (\ right) \) is differenciálható \ (x \) és annak származéka egyenlő \ [>> = \ frac> \ left (\ right) \ left (x \ right)> => f \ left (\ jobbra) g „\ left (x \ right)> = >> \ frac >>.> \] Ez a képlet mutatja hogy a származék egy összetett függvény a terméket a származék a külső funkció a származék a belső funkció. Fontos figyelembe venni, hogy a származék a függvény belsejében kerül kiszámításra a ponton \ (x \), és a származék a külső funkció - a \ (u = g \ left (x \ right) \!)
Belátjuk, a fenti képlet.
Vegyünk egy tetszőleges pont \ (\). Azt feltételezzük, hogy a függvény \ (u = g \ left (x \ right) \) differenciálható a ponton \ (\), és a funkciót \ (y = f \ left (u \ right) \), illetve, differenciálható pontjában \ (= g \ left (> \ right) \). Ez azt jelenti, hogy ezek a pontok a származékos \ (g '\ left (x \ right) \) és \ (f \ left (u \ right) \), és a funkciók \ (g \ left (x \ right) \ ) és \ (f \ left (\ u jobbra) \) folytonosak a szomszédságában ezeket a pontokat.
Purinszármazékban külső függvény \ (y = f \ left (u \ right) \) azon a ponton, \ (\) segítségével regisztráljuk határérték \ [f „\ left (> \ right) = \ lim \ limits_ \ frac >>. \ ] Ez a kifejezés lehet újraírni ebben a formában: \ [\ Delta y = f „\ left (> \ right) \ Delta u + \ varepsilon \ bal (\ right) \ Delta u, \], ahol a hiba \ (\ varepsilon \ bal (\ right) \) függ a növekmény \ (\ Delta u \), és a feltétel \ [\ lim \ limits_ \ varepsilon \ left (\ right) = \ varepsilon \ left (0 \ right) = 0. \] kifejezések a \ (\ Delta y \) növekményt a belső változó \ (\ Delta x \ ne 0 \): \ [\ frac >> = f „\ left (> \ right) \ frac >> + \ varepsilon \ bal (\ jobbra) \ frac >>. \] Mivel a belső függvény \ (u = g \ left (x \ right) \) differenciálható a ponton \ (\), majd a \ [\ lim \ limits_ \ frac >> = g „\ bal (> \ right). \] Vegyük észre azt is, hogy a \ (\ lim \ limits_ \ Delta u = 0 \) a folytonosság a funkciók \ (u \ left (x \ right) \), és ezért \ [\ varepsilon \ left (\ right) = \ varepsilon \ left (\ Delta u> \ right)> = \] Ennek eredményeként a származék összetett függvény pontjában \ (\) a következőképpen fejezhető ki: \ [> \ right) = \ lim \ limits_ \ frac >>> = \ left [> \ right) \ frac >> + \ varepsilon \ left (\ right) \ frac >>> \ right]> => \ right) \ lim \ limits_ \ frac >> + \ lim \ limits_ \ varepsilon \ left (\ right ) \ cdot \ lim \ limits_ \ frac >>> => \ right) g '\ left (> \ jobb) + 0 \ cdot g' \ left (> \ right)> => \ right) g „\ left ( > \ right)> => \ right)> \ right) g „\ left (> \ jobbra).> \] Ezt a szabályt differenciálás könnyen általánosítható az esetben, összetett függvény, amely három vagy több funkció. Például, egy származéka "szendvics" komplex funkció \ (y = f \ left (\ right)> \ right) \) adják \ [\ right) ^ \ prime> \ left (x \ right)> = \ right )> \ right)> \ right] ^ \ prime >> = \ right)> \ right) \ cdot g '\ left (\ right) \ cdot h' \ left (x \ right).> \] Meg kell azonban jegyezni, hogy a származék összetett függvény képviseli, mint egy soros termék származó összetevő funkciók, a függvényargumentumok igazítva (ragasztott) úgy, hogy az értéke a belső funkcióinak egy érv a következő neki külső funkciót. Ezért, a szabály differenciáló egy összetett függvény gyakran nevezik a „lánc szabály” (lánc szabály).A példák \ (1 \) - \ (50 \), hogy megtalálja származékok előre definiált funkciók: