Irányított származék
Legyen a függvény z = f (x, y) van definiálva egy pontjának szomszédságában M (x, y) - egy olyan irányban adott egység által vektor, ahol a (vagy); cos a, cos b - koszinuszok a bezárt szögek vektor által e a koordináta-tengelyek és az úgynevezett iránykoszinuszokat.
Amikor irányába mozog az M pont (x; y) pontban az M1 (x + Dx; y + Dy) megkapja a növekmény funkció Z D z = f (x + Dx; y +
+ Dy) - f (x; y), az úgynevezett lépésekben az irányt a függvény
Ha nyilvánvaló, hogy ennek következtében
Irányított differenciálhányados két változó
z = f (x, y) az úgynevezett határa az arány a növekmény funkció ebben az irányban, hogy az elmozdulás nagyságát, ha az utóbbi nullához, azaz ..
Származtatott harakterizuetskorost irányváltás funkció
A képlet a származékot a Z = f (x, y) az irányt formájában
16. példa. Tekintettel a függvény z = x 2 + y 2 M pont (1, 1) irányában szögben a tengellyel Ox Find differenciálhányados az említett irányba ezen a ponton.
Mivel a szög a képlet az irányított származékot kapjunk
Pontban M (1; 1), kapjuk:
Gradientomgrad zfunktsii z = f (x, y) egy vektor koordinátái
Tekintsük a skalár termék és az egység vektor
Így, az irányított származék dot termék a gradiens grad Z és az egység vektort meghatározó irányt
Grad z gradiens funkció egy adott ponton jellemzi irányában változásának maximális sebességét a függvény ezen a ponton.
17. példa. Find a gradiens egy pont M (0, 1).
A képlet szerint gradiens
Amikor X = 0 és y = 1, megkapjuk
Teszt 12. A gradiens A pont (1, 1) jelentése:
Láncszabályt és implicit függvények
Az ügy egyik független változó
Tegyük fel, hogy z = f (x, y) - differenciálható függvénye két változó x és y egy olyan régióban, D. és érvek x és y jelentése differenciálható függvények egy változó t. .., vagyis X = x (t), majd - függvényében egy változó t.
Tétel .Imeet egyenlőség
Ha egybeesik az egyik érv, hogy, mondjuk, t = x. az
és ez az úgynevezett teljes függvény deriváltját Z x.
Az ügy több független változó
Ha a érvek x és y Z = f (x; y) feladatokat a két változó, mondjuk x = x (u, v), y = y (u, v), akkor is függvénye a két változó, és a v.
Tétel .Imeyut képletek
Ezek szerkezete képletek is megmarad, ha nagyobb számú változót.