A származék az exponenciális és logaritmikus függvények
A megadása általános képletű levezettünk egy származéka az exponenciális függvény \ (y = \), és a természetes alapú logaritmus függvény \ (y = \ ln x \). Az alábbiakban figyelembe vesszük az exponenciális és logaritmikus függvény egy tetszőleges bázis és szerezzen kifejezések származékok.
A származék a logaritmikus függvény
Kezdjük a származékot a logaritmikus függvény \ (y = x \), ahol a bázis \ (a \) nagyobb, mint nulla, és nem egyenlő egység: \ (a> 0 \), \ (a \ ne 1 \). Definíciója szerint az a származék, így az érv \ (x \) egy növekménye \ (\ Delta x> 0 \), ahol feltételezzük, hogy \ (x + \ Delta x> 0 \). Logaritmikus függvény kap egy megfelelő növekmény \ (\ Delta y \), egyenlő a \ [\ Delta y = \ left (\ jobbra) - x \.] Elosztva mindkét oldalán \ (\ Delta x \): \ [>> = \ frac> \ left [_a> \ left (\ right) - _a> x> \ right].> => \ frac >> => \ left (>> \ right)> \] Legyen \ (\ nagy \ frac> \ normalsize = \ nagy \ frac \ normalsize \). Ezután az utolsó egyenlet átírható formájában \ [>> = \ frac> \ left (>> \ right)> = \ cdot n \, \ left (> \ right)> \.] Használva az ingatlan a teljesítményének logaritmusával funkció, megkapjuk \ [\ frac >> = \ frac> \ right) ^ n>. \] Feltételezve \ (\ Delta x \ 0 \) (ebben az esetben, \ (n \ to \ infty \)), azt találjuk, a határ az arány a lépésekben, azaz, .e. származékot a logaritmikus függvény: \ [\ frac >>> = \ left [_a >> \ right)> ^ n >> \ right]> = \ left [> \ right)> ^ n >> \ right]> \.] mi itt is a tulajdon határát összetett funkciók, tekintettel arra, hogy a logaritmikus függvény folytonos. A határérték szögletes zárójelben az a szám a jól ismert \ (e \). ami körülbelül \ (2,7 \ color \ color \ ldots \) (\ (2,7 \), majd két évvel születési Lev Tolsztoj): \ [\ lim \ limits_> \ right) ^ n> = E \ kb 2,7 \ color \ color459 \ ldots \] Következésképpen, a származékot a logaritmikus függvény a forma \ [_ a> x> \ right) ^ \ prime> = \ frace \] a képlet szerint az átmenet az új alapú logaritmus van :. \ [e = \ frac >> = \ frac>. \] Így, \ [y „\ left (x \ right) = _a> x> \ right) ^ \ prime> = \ frac>. \] Abban az esetben, \ (a = e \), megkapjuk a természetes logaritmus. származékot által expresszált \ (\ right) ^ \ prime> = \ nagy \ frac \ normalsize. \)
Azt is megjegyzik, egy fontos speciális esetben - a származékos a közös logaritmus. \ [\, X> \ right) ^ \ prime> = \ frac \, e >> = \ frac, \] ahol a szám \ (M \) egyenlő \ (M = \ szöveg \, e \ kb 0,43429 \ ldots \ )
A származék az exponenciális függvény
Mivel az exponenciális függvény bázissal \ (a \) (\ (a> 0 \), \ (a \ ne 1 \)) és egy logaritmikus függvény az azonos bázis formájában egy pár kölcsönösen inverz függvények, a származékot az exponenciális függvény segítségével találhatók egy származéka az inverz függvény tétel.
Mivel egy pár kölcsönösen inverz függvények \ (y = f \ left (x \ right) = \) és \ (x = \ varphi \ left (y \ right) = y. \) Ezután \ [> \ right) ^ \ prime = f „\ left (x \ right)> = >> = _a> y> \ right)> ^ \ prime >>>> = >>>> = = \ ln a.> \] a konkrét esetben a \ ( a = e \) a függvény deriváltját: \ [.> \ right) ^ \ prime> = \ ln e = \] az alábbi példákban, a származék adott funkció.