A logaritmikus derivált 1
Az arány az úgynevezett logaritmikus függvény deriváltját f (x)
A logaritmikus származékot - származéka a természetes logaritmusa modulus (abszolút érték) - Ez a funkció:
A képlet a származékot egy összetett függvény, azt találjuk, hogy
(*)
Logaritmikus származékot használt, például azáltal, hogy különbséget (megtalálása származék vagy eltérés) teljesítmény-exponenciális függvény.
Keressük a származék y = x x. Mivel lny = x LNX. könnyű megtalálni a logaritmikus derivált:
Most, képlet segítségével (*), kapjuk:
A logaritmikus derivált gazdasági értelme - az arány a változási sebessége y (származékos), hogy a legnagyobb értéket a - a változás sebessége; ha az arány pozitív - a változás sebessége növekszik, ha negatív - a sebesség csökken.
A differenciálhányados meghatározott implicit és parametrikusan.
Implicite megadott függvény
Ha a funkció által adott y = ƒ (x) megoldható a y, a meghatározott funkció a kifejezett formában (tiszta funkció).
Azáltal, hogy hallgatólagosan megadásával funkciót megvalósítani hozzárendelési függvény formájában egyenlet F (x; y) = 0 nem megengedett Y tekintetében.
Minden explicit függvénye y = ƒ (x) felírható az hallgatólagosan a következő egyenlet adja ƒ (x) y = 0, de fordítva nem.
Ez nem mindig könnyű, és néha lehetetlen megoldani az y (például y + 2 + otthonos-1 = 0 vagy 2 -x + y = 0).
Ha implicit függvény egyenlet által definiált F (x; y) = 0, akkor a származék képest y x nem szükséges, hogy megoldja a egyenlet y: elegendő, hogy megkülönböztesse az x = egyenletet, tekintve ebben a pillanatban, mint az X függvényében, és a kapott, majd egyenletet megoldva y”.
A származék egy implicit funkció kifejezve X és a funkciót a argumentum.
Find a függvény deriváltját y, a következő egyenlet adja x 3 + y 3 = 0 -3hu.
Megoldás: A funkció y határozza implicit. Differenciálható egyenlet x x 3 + y 3 = 0 -3hu. A kapott arányból
3 3y 2 + 2 · y '3 (1 + x · y · Y') = 0
Ebből következik, hogy a y-xy 2 = y 2 x t. E. Y „= (y-x 2) / (Y 2 -x).
Függvény parametrikusan
Legyen a kapcsolatát érv az x és az y meghatározott parametrikusan formájában két egyenlet
ahol t - a kiegészítő változó nevű paraméterrel.
Keressük a származék y'x. Tekintettel arra, hogy a függvény (21.1), és hogy olyan származékai az x = x (t) van egy fordított T = # 966; (x). A szabály szerint a differenciálódása inverz függvények
Funkció y = ƒ (x) által meghatározott paraméteres egyenleteket (21.1) lehet tekinteni, mint egy komplex függvény az y = y (t), ahol t = # 966; (x). A szabály szerint kell különbséget egy összetett függvény, van: y'x = y't • T'x. Tekintettel (21,2), azt kapjuk,
Ez a formula lehetővé teszi számunkra,
y'x megtalálják a származékot adott funkció
parametrikus, nem találván közvetlen befolyása y x.
<<Пример 21.2
Megoldás: Van x't = 3t 2. y't = 2t. Következésképpen, y'x = 2t / t 2. m. E.
Ennek ellenőrzéséhez megállapítás közvetlenül a függőség y x.
Valóban, majd t. E. 29.Differentsial funkció formájában invarianciáját eltérés 1.
Otthon Adx lineáris részét a funkciót a növekmény meghatározása differenciálhatósága
Df = f (x) - f (x0) = A (x - x0) + o (x - x0), x®x0
Ez az úgynevezett differenciális az f (x) x0 és jelöljük
A eltérés függ a ponton x0, és lépésekben Dx. Minden pontjában jelentése lineáris eltérés függvényében Dx lépésekben.
Amikor tekinthető egy f (x) = x. azt kapjuk, dx = Dx, dy = AdX-. Ez összhangban van a Leibniz jelöléssel.
A geometriai értelmezése eltérés megnöveli, mint az ordinátán tangens.
Invariánsak, az első különbségi formájában
Ha x - független változó, akkor dx = x - x0 (rögzített növekménye). Ebben az esetben meg kell
t. e. első különbségi az a tulajdonsága invariancia képest változást az érvelés.
Származékai nagyobb megrendeléseket. F la Leibniz.
Származékai magasabb rendű
Egyértelmű, hogy a derivált
függvény y = f (x) függvénye is x:
Ha a függvény f „(x) differenciálható, annak származéka jelöljük y” „= f” „(x) az úgynevezett második függvény deriváltját f (x) vagy annak származékát a f (x) másodrendű. jelöléseket használva
1. meg a második függvény deriváltját y = x 4
R e w n e: Van y '= (x 4)' = 4x 3
a továbbiakban: y '' = (y ')' = (4x 3) „= 12x 2
2. meg a második függvény deriváltját y = 3cos (x)
R e w n e: Van y '= (3cos (x))' = -3sin (x)
a továbbiakban: y '' = (y ')' = (-3sin (x)) „= -3cos (x) 3. találja a második függvény deriváltját y = tg (x)
Megoldás: Van
továbbá:
Ez nagyon kényelmes használni a jelölést
jelezve, hogy a függvény az y = f (x) már differenciálódott kétszer x.
A származék a második származék, azaz funkció y '' = f '' (x). az úgynevezett harmadik függvény deriváltját y = f (x) vagy egy származéka a f (x) jelöli a harmadik rend és a szimbólumok
Általában n-edik származékot vagy n-edik érdekében függvény deriváltját y = f (x) jelöli szimbólumok
Tegyük fel, hogy a funkciók differenciálható, és együtt származékai akár az N-edrendű inkluzív. Alkalmazása a szabály differenciálódása a termék két funkció megszerzése
Hasonlítsa össze ezeket a kifejezéseket fok binomiális:
Feltűnő illeszkedő szabály: annak érdekében, hogy egy általános képletű a-származékot az 1., 2. vagy 3.-rendű függvény a termék és a. mértéke és ki kell cserélni a kifejezést (ahol n = 1,2,3) származékai a megfelelő megrendeléseket. Ezen túlmenően, a nulla szint értékeket és ki kell cserélni a nullával deriváltak, jelentése és funkciója közülük:
.
Összegezve ezt a szabályt, hogy az esetben, ha egy származéka tetszőleges sorrendben n. Kapjuk Leibniz formula
ahol - binomiális együtthatók: