A mátrix rangjának meghatározása
Mátrix meghatározása. Az almatrix fogalma. Műveletek a mátrixokon és tulajdonságaikon.
A mátrix egy téglalap alakú számtábla, amely bizonyos számú m sorral és egy bizonyos számú n oszlopot tartalmaz. A mátrixot alkotó számok a mátrix elemei. Az A mátrix almatrixa olyan mátrix, amely az eredeti mátrix nem aláhúzott elemeit tartalmazza.
Mátrix műveletek:
· Átültetés - az A mátrixról az AT mátrixra való átmenet, amelyben a sorok és oszlopok a rendelés megőrzésével változnak.
· Mátrixok hozzáadása. Ugyanannak a dimenziónak kell lenniük, és az azonos név elemeit össze kell adni.
· A mátrixok szorzása egy számmal.
· Mátrixok levonása. A-B = A = (-1) B
· Mátrixok szorzása. A szorzási szabály: Az AB mátrixok terméke C mátrix, amelynek minden eleme megegyezik az A mátrix e sorának elemeinek termékeinek összegével a mátrix B oszlopának elemeivel.
Nincs megosztás a mátrixokban!
· A T * (B + C) = A T * B + A T * C
· A * E (egységmátrix) = A vagy E * A = A
· A * (B * C) = (A * B) * A fő megrendeléssel
A n. Sorrend négyzetes mátrixának meghatározója. A determinánsok tulajdonságai. A determinánsok kiszámításának módszerei. Példák.
A determináns egy négyzetmátrixot jellemzõ szám.
A degenerált mátrix-determináns = 0
Az ≠ 0 nondegenerált mátrix-meghatározója
Az elsőrendű mátrix meghatározó eleme ennek a mátrixnak az eleme.
A másodrendű mátrix meghatározója egy olyan szám, amelyet a következő képlet számít ki:
A harmadik rendű mátrix meghatározója, a képlet által kiszámított szám (egy háromszög szabálya vagy Sarus szabálya):
Az n-edik sorrend meghatározói
Tétel: A négyzetes mátrix meghatározója megegyezik bármelyik sor (oszlop) elemeinek termékeinek összegével az algebrai kiegészítéssel.
Ez a meghatározó tényezők számítási módja, amelyet bármely sor vagy oszlop elemeinek bővítésének neveznek.
Az átlós mátrix meghatározója a fő átló elemeinek terméke.
· Ha bármelyik sor (oszlop) csak nullából áll, akkor annak meghatározója nulla.
· Ha egy sor (oszlop) összes elemét egy számmal szorozzuk meg, akkor a teljes determinánst megszorozzuk egy számmal.
· Ha a mátrix átültetésre kerül, annak meghatározója nem változik.
· Ha egy mátrix két sorát vagy oszlopát egymással kicseréli, annak meghatározója megfordítja a jelet.
· Ha a négyzetmátrix két azonos sorozatot vagy oszlopot tartalmaz, meghatározója nulla lesz.
· Ha a mátrix két sorának (oszlopainak) elemei arányosak, akkor meghatározója nulla lesz.
· A mátrix bármely sorának (oszlopának) elemeinek termékeinek összege a mátrix egy másik sorának vagy oszlopának elemeinek algebrai komplementuma által nulla.
· A mátrix meghatározója nem változik, ha egy másik sor (oszlop) elemeit hozzáadjuk a mátrix egy sorának vagy oszlopának elemeihez, amelyeket előzőleg ugyanazzal a számmal szoroztunk. Nullákat kapunk.
A két mátrix termékének meghatározója megegyezik két determináns termékével.
Az inverz mátrix meghatározása. Egy tétel a szükséges és elégséges feltételről az inverz mátrix létezésére. Az inverz mátrix számítása (például).
Az inverz mátrix egy ilyen M-mátrix. ha az eredeti A mátrix szorzással megszorozza az E mátrixot:
A kvadratikus mátrix invertibilis, ha és csak akkor, ha nem degenerált, vagyis meghatározója nem nulla. Nincsenek inverz mátrixok a nem négyzetes mátrixokhoz és degenerált mátrixokhoz.
Annak érdekében, hogy egy mátrix egy inverz mátrixot tartalmazzon, szükséges és elegendő, hogy nem negatív legyen.
Az inverz mátrix kiszámításának algoritmusa:
A mátrix rangjának meghatározása. Degenerált és nem degenerált mátrixok. Lineáris egyenletek rendszer mátrix ábrázolása.
A rangmátrixok a mátrix kiskorúinak legmagasabb rendűek, a nullától eltérőek.
A degenerált mátrix-determináns = 0
Az ≠ 0 nondegenerált mátrix-meghatározója
Lineáris egyenletek rendszer mátrix ábrázolása: