Binomiális terjesztési jog - stadopedia
A diszkrét véletlen változók eloszlásának törvényei.
A diszkrét véletlen változókra vonatkozó törvények közül a leggyakoribb a binomiális eloszlás.
Tegyük fel, hogy c. a. X az A esemény előfordulási számának száma n azonos kísérletekben, amelyek függetlenek az eseménytől A. Lehetséges, hogy az A esemény előfordulási valószínűsége minden tesztben állandó legyen, és egyenlő legyen p (A) = p, (0
Itt: X = m = 0; 1; 2; ...; n - a PGNS-t alkotó lehetséges értékek. Ebben az esetben a következő kapcsolat tartja fenn:
Találjuk meg a binomiális eloszlás matematikai elvárásainak kifejezését.
Tekintsük Newton binomiális bomlását:
Megkülönböztetünk az utolsó egyenlőséghez képest:
Az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk p:
mivel (p + q) n-1 = 1, a következő képletet kapjuk:
Hasonlóképpen, a binomiális eloszlás varianciájához egy kifejezést kapunk. A variancia második képletével írhatunk:
Megkülönböztetjük Newton binomiális p-bomlását p:
Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk p 2-vel. Figyelembe véve, hogy (p + q) = 1, megkapjuk:
Ebből, figyelembe véve azt a tényt, hogy (1-p) = q, és az M (X) = np binomiális eloszláshoz:
Az A esemény (A BHP módja) legvalószínűbb előfordulási számát a kettős egyenlőtlenségből határozzuk meg:
Egy példa. Az X véletlen változó a hibás részek száma a
n = 50 darab. Az egyes részek tüskéjének valószínűsége p = 0,06. Keressük M (X), D (X), (X), M0 a hibás részek számát.
2. A Poisson-eloszlás.
A Poisson-eloszlás tekinthető binomiális eloszlás korlátozó esetének, amikor az n próbák száma végtelenül csökken, és a vizsgálat során várt esemény valószínűségének nullával való egyidejű kezelése.
A feladat. Hagyja, hogy az OX-tengelyen fellépő pontok véletlenszerűen csökkenjenek. Hagyja, hogy a pontok véletlenszerű eloszlása ezen a tengelyen három feltételnek megfeleljen:
1. Az L véges hosszúságú szegmensek darabjainak K valószínűségének valószínűsége csak a K számától és a szegmens hosszától függ, és ez a valószínűség arányos a szegmens hosszával, és nem függ az OX tengelyen lévő pozíciójától;
2. A pontok egymástól függetlenül a tengelyre esnek, az egyes pontoknak a szegmens véges hosszúságára eső valószínűsége nem attól függ, hogy a többi pont hol esett;
3. A két vagy több pontból álló kis elemi vágás valószínűsége elhanyagolható, azzal a valószínűséggel, hogy egy pont ráesik.
Keressük meg annak a valószínűségét, hogy pontosan pontok múlnak az L. hosszméret OX tengelyének szegmensébe.
Az X véletlenszerű változó azoknak a pontoknak a száma, amelyek az OX tengely L szegmensére esnek. Lehetséges értékei: 0; 1; 2; ...; m; ... - a szám lehet aránytalanul nagy.
Csökkentjük a problémát arra a rendszerre, amelyben a Bernoulli-képlet alkalmazható.
Az L szegmenst n egyenlő hosszúságú részekre osztjuk:
Az elemi szegmensben a 3. feltétel mellett csak egy pont eshet.
Hagyja, hogy az elemi szegmensben az egyik pont megütésének valószínűsége egyenlő legyen: (1. feltétel), akkor - a valószínűsége, hogy ne esik egy ponttal.
Itt: - arányossági együttható.
Az egyes elemi szegmensek egyik pontjának eltalálása vagy hiánya n független teszt eredménye. Az a valószínűség, hogy a darabszám m-ben levő n elágazások egyike egy pontra esik, a Bernoulli-képlet alapján számolják ki:
A közelítő egyenlőség jele annak a ténynek tudható be, hogy egynél több pont eshet a szegmensre. Annak érdekében, hogy kizárjuk ezt a lehetőséget, folytassuk a 3. feltételnek megfelelően a, és.
Itt: - Poisson formula.
Határozzuk meg a Poisson-eloszlás numerikus jellemzőit.
A Poisson-eloszlás matematikai várakozása: tehát a vizsgált paraméter-probléma körülményei között a fizikai értelmezés a pontszámok átlagos sűrűsége (az OX tengelyenkénti egységhosszon eső pontok átlagos száma). Absztrakt formában ez az események átlagos száma folyamatos fizikai mérőegységenként (ez lehet hossz, idő, koncentráció stb.).
A Poisson eloszlás varianciája: (output nélkül). Így az egyik jel a Poisson-eloszlás jelenlétében az egyenlőség:
Találjuk meg a percenkénti hívások számának matematikai elvárásait. A perc hívássűrűsége: Ezután a matematikai elvárás az érték: A szükséges valószínűség:
A Poisson-eloszlás használható binomiális eloszlás esetén, ha az utóbbi rendelkezik, ami nagyon kicsi és nagy lehet. Ezekben az esetekben a Poisson-képletben a Poisson-eloszlás matematikai elvárása helyettesíthető a binomiális eloszlás matematikai elvárásával. A várható események száma nem lehet nagy.
Egy példa. A gyár 500 üveg vodkát adott az alapnak. Az egyes palackok szállítás közben való megrongálódásának valószínűsége 0,002. Mi a valószínűsége, hogy 3 törött palack érkezik a bázisra.
Ebben a problémában a pontos disztribúciós törvény binomiális, de a Bernoulli-formula nem kritikusan alkalmazható a nagyszámú n = 500 miatt. Megjegyezzük azonban, hogy a diszperzió számszerűen közel áll ehhez az értékhez :. A szám kicsi, ezért a probléma megoldásához a Poisson képletet használjuk:
Egy példa. A nem szabványos rész gyártásának valószínűsége p = 0,004. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az 1000 rész közül 5 nem szabványos.
Ha ezt a változatot a Bernoulli-képlet szerint vesszük, akkor megkapjuk;
Azokban az esetekben, amikor n és m nagyszámú, és a Bernoulli és Poisson képletek nem alkalmazhatók, használja a hozzávetőleges helyi Laplace-képletet:
Itt: - a standard valószínűségi függvény (Gauss-függvény), táblázatos (az alkalmazás 1. táblázata). 6. A helyi Laplace-képlet alapján az utolsó példához kapjuk :. (A különbség jelentős).