A rúd végeinek a kritikus erő nagyságára történő rögzítésére vonatkozó feltételek befolyásolása
A rúd végeinek a kritikus erő értékére történő rögzítésének körülményei.
Korábban a kritikus erõt egy rúdhoz határozták meg, amelynek két végein csuklós támasz volt (Euler-képlet). Tekintsünk más rögzítési eseteket is néhány példára.
1. példa A konzolos rúd stabilitása nyomóerő hatására.
A probléma határfeltételei a következők:
A megoldásból (190) a határkörülmények között találjuk
A (195) egyenletből megkapjuk és a (194) egyenlet adja
Mivel, akkor a feltétellel megtaláljuk a kritikus értéket
kiderült, hogy négyszer kisebb, mint egy ugyanolyan hosszúságú rúdhoz, de csuklós támasszal. Ez az eredmény meglehetősen természetes, mivel a konzolos rúd ugyanolyan feltételekkel működik, mint a kettős hosszúságú csuklós rúd (12.36. Ábra).
Ábra. 12.36. A kritikus erő értékének összehasonlítása a konzolos és a csuklós rögzítéssel
A kapott oldat nemcsak a kritikus erő (196) értékét adja, hanem az alakváltozás alakját is. A (187) képletből következik
ahol C egy tetszőleges konstans.
Tekintettel a vizsgált probléma gyakorlati jelentőségére, a szokásos elemi megoldást adjuk. A (163) egyenletet használjuk:
Az egyenlet általános megoldása a következőképpen ábrázolható:
A határkörülmények között
Így a (199) oldata a formát veszi fel
Az egyenlőségben (200) a rúd végén határozatlan eltérés van (lásd a 12.35. Ábrát). Ha az egyenlőség (200) megmarad, ha ez a képlethez vezet (196).
A vizsgált konkrét esetben a megoldás egyszerűnek, de kevésbé általánosnak bizonyult, mivel a határfeltételeket implicit módon használták fel.
2. példa Két beágyazott szakaszú rúd stabilitása (12.37. Ábra). A határfeltételek:
Az utolsó határfeltételek közül, figyelembe véve az egyenlõségeket (190), megkapjuk
Ezeknek az egyenleteknek a meghatározója el kell tűnnie, ami megadja
Ábra. 12.37. A rúd stabilitása két beágyazott szakasszal
Ábra. 12.38. Az egyenlet megoldásának rendszere
Ábra. 12.39. A rúd stabilitása egy beágyazott és más csuklópántokkal
Az utolsó egyenletből
Ezeknek az egyenleteknek a legkisebb gyökerei vannak
A kritikus erő legkisebb értéke megegyezik a (203) értékkel,
Megjegyzés. Az egyenlet megoldásának módját az 1. ábra mutatja. 12.38. Mivel a kis z esetében az egyenes vonalának metszéspontja és a tangentum egy z értékhez képest kisebb.
A gyökér pontos értéke.
3. példa Egy rúd stabilitása egy beágyazott és más csuklós végekkel (12.39. Ábra).
A határfeltételeknek megvan a formája
A megoldásból (190) találunk
Az egyenlet determinánsának egyenlőségétől a
Ennek az egyenletnek a legkisebb gyöke (lásd a 12.38. Ábrát) egyenlő