Egy függvény monotonitásának és származékának kapcsolata
2.3. A DERIVATÍV FUNKCIÓ KUTATÁSA
Tétel 2.9. Tegyük fel, hogy az f (x) függvény differenciálható egy nem-
ami a különbség. Ezután annak érdekében, hogy az f (x)
(csökkenő) ebben az intervallumban, szükséges és elegendő, hogy ennek az intervallumnak minden pontján a származéka legyen pozitív (negatív).
Ennek megfelelően, annak érdekében, hogy a függvény bizonyos időközönként nem csökkenő (nem növekvő) legyen, szükséges és elegendő, hogy ennek az intervallumnak minden pontján a származéka legyen nem negatív (nem pozitív).
2.3.1. Példa. Az f (x) = x 2-6 x + 5 függvény monotonicitás vizsgálata.
A megoldás. Lássuk az f (x) függvény deriváltját. f '(x) = (x 2 - 6 x + 5)' = 2 x - 6.
A származékot nulla értékre osztjuk, és megoldjuk az eredményül kapott egyenletet
A függvénydefiníció tartományát (az x = 3 pontban) osztjuk meg (ebben a példában az összes valódi számnak a halmaza) az inter-
A származék értékének kiszámítása az egyes intervallumok egyik belső pontján meghatározzuk a származék jeleit minden egyes intervallumon. Például,
f '(0) = 2 0-6 = -6 <0. f ′ ( 5 ) = 2 5 − 6 = 4> 0.
A 2.3.1 tétel szerint. az intervallumon (-∞; 3)
CIÓ csökken; a (3; + ∞) intervallumon a funkció növekszik.
2.3.2. Példa. Vizsgálja meg a funkció monotonitását
A származékot nulla értékre osztjuk, és megoldjuk az eredményül kapott egyenletet
x 2 - 8 x + 15 = 0.
Ennek az egyenletnek a gyökei az x 1 = 3 és x 2 = 5 számok. Az x 1 = 3 és a x 2 = 5 pontokat osztjuk a definíció tartományába
funkció (ebben a példában az összes valós számok halmaza) intervallumokra (2.3.2 ábra).
A derivált értékek kiszámítása az egyes intervallumok belső pontjaiban minden egyes intervallumban meghatározzuk a származék jeleit.
f '(0) = 0 2 - 8 0 + 15 = 15> 0. f' (4) = 4 2 - 8 4 + 15 = - 1 <0.
f '(6) = 6 2 - 8 6 + 15 = 3> 0.
Ezért a 2.3.1 tétel szerint a függvény növekszik a (∞, 3) U (5; + ∞) értéknél; a funkció csökkenti a beállítást
A funkció extrémjei. Az x 0 pontot helyi-
(minimális) f (x). ha valamilyen környezet-
(vagyis az intervallumon (x-ε .x + ε), ahol ε> 0) ismert
Ekkor a f (x 0) függvény a legnagyobb (a legkevésbé ismert)
PWM). A helyi maximum és a minimális függvényt hívják -
extremum pontokat.
Tétel 2.10. (a túlérzékenység szükséges feltétele). Legyen az f (x) függvény folytonos a x 0 pont szomszédságában
annak a ténynek, hogy a x 0 pontban az f (x) függvénynek van egy helyi extremuma
(maximum vagy minimum), akkor a funkció deriváltja ezen a ponton nulla legyen.
Az a pont, amelynél a függvény deriváltja nulla (vagy nem létezik), a függvény kritikus pontja. A kritikus ponton a függvénynek lehetnek maximálisak, lehetnek minimálisak, de lehet, hogy nincsenek, vagyis ezen a ponton a szélsőség nem létezhet. A kritikus pont jellegének vizsgálatához elegendő feltételeket kell alkalmazni a szélsőségesen.
ELMÉLET 2.11. (az első elégséges feltétel egy szélsőség számára). Legyen x 0 a f (x) függvény kritikus pontja. Ezután három lehetséges
1) Ha az f '(x) derivált pozitív a x0 pont bal szomszédságában, és a jobboldali negatív származék, akkor a függvénynek a maximális értéke x 0 pontban van.