Bemutatás a forgás alakjának geometriájáról
A forgatások története A legegyszerűbbek közül a hengerrel kezdem.
A henger olyan test, amelyet úgy alakítanak ki, hogy egy téglalapot egy egyenes vonal körül forgat, amely az oldalát tartalmazza.
A forgótengelyre merőleges téglalap oldalainak forgatásával kialakított köröket a henger alapja (felső és alsó) jelenti. Mivel a téglalap ellentétes oldala egyenlő, akkor a henger alapjai egyenlő körök.
A forgótengely párhuzamos téglalap oldalának forgatásával kialakított felületet a henger oldalfelületének nevezzük.
A henger magassága merőleges, egy hengeres bázis bármely pontjától a másik síkjáig húzva. Ennek a merőlegesnek a hossza a henger magassága. A bázisköröknek a síkjait összekötő és a síkokra merőleges szegmenst nevezik a forradalmi henger generátorának. A hengeren belüli forgástengely szegmensét a henger tengelyének nevezzük.
A forgó henger generátorai merőlegesek a bázisok síkjára, és van egy kör a henger alján, így egy hengeret jobb kerek hengernek neveznek.
A henger, amelynek generátorai nem merőlegesek a bázis síkjára, egy ferde hengernek nevezik.
És most a henger alapképleteire koncentrálok:
1) A henger oldalfelületének területe megegyezik az alap és a magasság kerületének hosszával. Sboc = 2 RH
2) A palack teljes felülete megegyezik az oldalsó felület és a két alaprészének összegével.
S teljes = Sob + 2Sosn = 2 RH + 2 R2 = 2 R (R + H)
3) A körkörös egyenes henger térfogata megegyezik a bázis területének magassági termékeivel. V = R2H
Most továbblépünk a következő forgóvázra - a kúpra.
Egy egyenes kör alakú kúp egy olyan test, amelyet egy jobb háromszög elforgatása képez egy katétert tartalmazó egyenes köré.
A kúpba behelyezett forgástengely szegmensét a kúp tengelyének nevezzük.
A második láb forgatásával létrejött kört a kúp alapja. Ennek a lábnak a hosszát a kúp aljának sugara vagy a kúp sugara határozza meg. A forgó háromszög akut szögének csúcspontját, amely a forgás tengelyén fekszik, a kúp csúcsa.
A kúp magassága a kúp csúcsától a bázison merőleges szegmens. Ennek a merőlegesnek a hosszát a kúp magassága is nevezik. A kúp magassága az alapja a kör közepének - a kúp alapja -, és egybeesik a kúp tengelyével.
A kúp csúcsa és a bázis körének pontjait összekötő szegmenseket a kúp generátorai nevezik. Minden kúp generátor egyenlő egymással.
A kúp alapelvei:
1) A kúp térfogata a magasság magasságának egyharmadával egyenlő.
2) A kör alakú kúp oldalfelülete megegyezik a bázis kerületének hossza felével, a generátorral. Sboc = RL
3) A teljes kúp felületének megegyezik az oldalsó felület és a bázis területeinek összegével. S teljes = Sob + Sosn = RL + R 2 = R (L + R)
A csonka kúp a kúp része, amelyet a bázis és a bázis síkjával párhuzamos rész határol.
Ennek a kúpnak a bázisát és a kúp keresztmetszetének egy síkban levő körét a csonka kúp alsó és felső bázisaként nevezik. A csonka kúp magassága merőleges egy bázis bármely pontjáról a másik síkjára húzva. Ennek a merőlegesnek a hosszát a csonka kúp magassága is nevezik.
A kúp alakú szegmenseit, amelyek a csonka kúp alapjai közé vannak zárva, a csonka kúp generátorai. Mivel egy adott kúp összes generátorja egyenlő és egyenlő a kivágott kúp összes generátorával, a csonka kúp összes generátorja egyenlő.
1) A csonka kúp felületének térfogatát a következő képlet adja meg:
A térfogat megegyezik a pi termék egyharmadával a csonka kúp magasságához és a bázisok sugarainak és termékeinek négyzetének összegével.
2) A csonka kúp oldalfelületének területe megegyezik a generátorban lévő alapkörök hosszának félösszege termékével.
3) A csonka kúp teljes felülete megegyezik az oldalfelület és a csonka kúp alapjainak összegével.
A félkör körül az átmérő körüli forgatás eredményeként kapott számot golyónak nevezik. A félkör által alkotott felületet gömbnek nevezik.
A golyó egy adott pontból a tér minden pontjának halmaza nem nagyobb, mint az adott R.
A gömb az adott ponttól az adott ponttal megegyező távolságban lévő tér minden pontjának halmaza.
A gömb sugarát úgy definiálják, mint bármelyik szegmenst, amely a gömb középpontját a gömbfelület pontjához köti. A gömbfelület két pontját összekötő és a gömb középpontján átmenő szegmenst a gömb átmérőjének nevezik. A gömb bármely átmérőjének végeit a gömb átmérője ellentétes pontjainak nevezik. A gömb felületének két golyójának két tetszőleges pontját összekötő szakasz, és nem a gömb átmérője, egy gömb (gömb) akkordja.
Az egyik legnagyobb eredményét Archimedes úgy vélte, hogy a labda mennyisége másfélszer kisebb, mint a fent említett henger térfogata:
leírt henger térfogata SH = R 2 • 2R = 2 R 2. csoda labdát feltüntetik egy hengerben, volt faragott sírköve Archimedes Syracuse. Ez azt bizonyítja, mint a levezetés a kötet a piramis az „ördög létra”, valamint a számítás a kötetek számos más szervek, a testtömeg alapján bemutatja a „stack” vékony párhuzamos rétegeket. A térfogatot az egyes réteg közelítőleg egyenlő a termék a bázisterületüket vastagsága által, úgy, hogy, a hatás, meg kell kiszámítani a területének összege a párhuzamos szakaszok, pontosabban, a határértékeket a termék ezt az összeget a réteg vastagsága, amikor az utóbbi nullához. A múlt matematikusai számottevő leleményességet és értelmet nyertek az ilyen számításokban.
HOGYAN ARCHIMEDES HOSSZABB HASZNÁLATÁVAL
Tekintsünk egy 2R x 4R méretű téglalapot, egy kör, amely hosszú és hosszú oldalát megérinti az A és B középpontjain, és egy háromszöget ábrázol (1. ábra). Az AB tengely körül forogva ezek a számok henger, golyó és kúp alakot alkotnak. Átlépik a síkban, amely párhuzamos a bázisok a henger egy x távolságban a keresztmetszeti területek A. Let - kerül meghívásra, amelyet saját - révén STS, SSH és SK. majd
x • Sj = 2R • (Sm + Sk). (*)
Valójában Sj = 4R2; Sv = CE 2. ahol CE 2 = EO 2 - OC 2 = R 2 - (x - R) 2 = 2 Rx - x 2; Sk = CD2 = x2, és az egyenlőséget (*) közvetlen szubsztitúcióval igazolják. Ha a bal oldal helyett az x egy állandó tényező, pl. E. A kapcsolat a három szakasz ugyanaz marad minden síkon, ugyanez lenne igaz egyenlőséget Vts kötetek VIII és VR. Archimedes rendkívül ötletes utat talált: az x-eket (*) egyesítette különböző mennyiségben egy kötetenként. Az egyenletet (*) a "kar" szabályaként nézte: x és 2R átvette a vállakat és a szakaszok síkját - a tömegekért. Az ötletet a 3. ábrán mutatjuk be. 2. A kar súlyának egyik karján, mint a tengelyen, a hengert úgy helyezzük el, hogy az A pont egybeessen a tartóponttal; A másik oldalon a támaszponttól 2R távolságban egy kúp és egy labda felfüggesztésre kerül. A henger, a kúp és a gömb megfelelő szakasza egymáshoz képest egyensúlyt teremt, ezért az egyensúly egésze egyensúlyban van. Az egyensúlyt nem sértjük meg, ha a henger teljes tömege a támaszték R távolságában elhelyezkedő közepén koncentrálódik. Feljegyezzük a kar szabályait az egész rendszerre, figyelembe véve, hogy a tömegek arányosak a kötetekkel:
ahonnan a gömb térfogatára vonatkozó jól ismert képletet könnyű levezetni: Vw = 4/3 R 2
Archimédész szintén talált egy másik módszert a gömb hangerejének kiszámítására - alapvetően nagyon közel az integrációhoz.
1) A kötet a labda térfogatával egyenlő egy piramis, az alapja, amelynek a területe megegyezik a felszínen a labdát, és a magassága a gömb sugarának: VIII = 4/3 2 R
2) A gömb (vagy a gömb felülete) területe megegyezik a nagy kör quadruple területével: Sssfere = 4 R 2
És most egy gömb egyenletét képezzük az A (a; b; c) középponttal és az R-sugárral a Cartesian Oxyz négyszög koordinátarendszerben.
Legyen M (x; y; z) legyen a gömb bármely pontja. Ha MA 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2. akkor megkapjuk a gömb szükséges egyenletét
Thor egy forgás.
A tórusz úgy alakul ki, hogy egy kört körbeforgat, amely nem keresztezi, és a kör síkjában fekszik.
Ha a tóruszot kitöltjük, egy forradalmi testet kapunk, amit egy szilárd tórusznak hívunk.
1) A torus által határolt térfogat a keresztmetszet területével megegyezik a kerület hossza termékével: V = 2 R · r? = 2 2 Rr 2;
2) A keresztmetszet hosszának kétszerese a kerületnek a keresztmetszet hossza: S up = 4 2 Rr
A Newton és a Leibniz által létrehozott integrált kalkulus a volumen számítását szabványos műveletké alakította át. A következőképpen íródik:
ahol V - térfogata a test között helyezkedik el a sík z = A és Z = b, és az S (z) - annak keresztmetszeti területe sík ponton áthaladó z Oz tengelye merőleges erre a tengelyre.