Az n-edik rendelési differenciálegyenlet csökkentése az elsőrendű normál rendszerhez
A Cauchy-probléma megoldása az elsőrendű differenciálegyenletek rendszerére
Az ismeretlen funkciójú n elsődleges differenciálegyenletek rendes rendszere egy rendszer:
Az (a), (b) intervallumon az (1) rendszer megoldásával n függvények gyűjteménye. folyamatosan differenciálható (a, b), és az (1) rendszer egyenleteit átalakítják a helyettesítésük szerint. Az (1) rendszer Cauchy-problémája a következőképpen van megfogalmazva: megtalálja a rendszer megoldását, amely megfelel a kezdeti feltételeknek
hol vannak az adott számok ,. Egy normál DW rendszerhez (1) a Cauchy-probléma megoldásának létezésére és egyediségére vonatkozó tétel érvényes. A Cauchy-probléma megoldása egy normál SDE megoldás.
A (1) rendszert vektoros formában írjuk le, ezért vektorfunkciókat vezetünk be: a vektor egy ismeretlen függvény oszlopa. a származéka és a vektor-oszlop a funkció a jobb oldali rendszer (1).
A bemutatott jelölés alkalmazásával a Cauchy-probléma az (1) rendszerre a következő formában van megfogalmazva:
Amint látjuk, a Cauchy-probléma vektor-jelölése (3) az elsőrendű SDE-nek ugyanaz a formája, mint az elsőrendű ДУ esetében. A CDE esetében funkciók helyett vektorértékű függvények vannak. volt. Az Euler, Runge-Kutta módszerei az elsőrendű DM-hez formálisan kiterjeszthetők az elsőrendű SDE-re, az együtthatók ebben az esetben szintén vektorok. Például a második rendű Runge-Kutta módszer (3) vektor jelölése a következőképpen alakul:
Az alábbiakban egy konkrét példa módszereit vizsgáljuk.
Az n-edik sorrend differenciálegyenletének csökkentése az 1. rendű rendes rendszerhez ДУ.
Úgy véljük, hogy a Cauchy-probléma egy n-sorrendű differenciálegyenlet:
Ha a (7) egyenlet megoldható a legmagasabb származék tekintetében. azaz formában ábrázolható, akkor az n differenciálegyenletek rendes rendszerére redukálható. Tegyük fel:
A (7) egyenlet a következő alakú:
Így egyenletünket a normál SDE rendszerre csökkentettük:
A kezdeti feltételek (8) a következő formában valósulnak meg:
Vegyük ezeket a módszereket egy példára.
A másodrendű egyenlet Cauchy-problémáját numerikus módszerekkel oldjuk meg. Emlékezzünk arra, hogy megoldást találunk rácsfunkció formájában, azaz. a megoldási értékeket egy adott csomóponthálón kapjuk meg.
Az egyenlet Cauchy-problémáját tartjuk számon:
A Cauchy-probléma pontos megoldása az egyenletnek a következőképpen alakul ki:
Találjuk meg a pontos megoldás értékét a csomópontok egy bizonyos rácsán: