A vektor kiterjedése az alap alapján
6) (a + b) = a + b
8) a (+) = a + a
Így, a sor geometriai vektorok (vektorok meghatározott egyenes, sík vagy a tér) által meghatározott két művelet - összeadás és szorzás számmal, hogy az úgynevezett lineáris műveleteket. és ezeknek a műveleteknek számos tulajdonságuk van.
Adhatunk példákat más készletekre is (a valós számok halmaza, a komplex számok halmaza, azonos dimenziójú mátrixok készlete stb.), Amelyen lineáris műveletek is bevezetésre kerülnek. Bár ezek a műveletek az egyes készleteken saját módjuk szerint vannak meghatározva, ezeknek a műveleteknek a tulajdonságai megegyeznek a geometriai vektorok lineáris műveleteinek 1) - 6) tulajdonságaival. Ezért természetesen szükség van olyan önkényes elemek készletének tanulmányozására, amelyeken a lineáris műveleteket definiálják. Ezenkívül a műveletek bármilyen módon megadhatók, feltéve, hogy rendelkeznek bizonyos tulajdonságokkal. Az ilyen matematikai készleteket lineáris tereknek nevezik. A lineáris terek elméletének alapelvei fontos szerepet játszanak a matematika, a mechanika és a fizika számos területén.
Így a szabad geometriai vektorok halmaza lineáris tér. A tér vektor síkban jelöljük V 2. sokaságát háromdimenziós térben vektorok jelöljük V 3. A tér vektorok találhatók, egy egyenes vonal (vagy párhuzamos azonos egyenes vonal) kijelölt V 1.
Bizonyítást nyert, hogy minden lineáris térben létezik egy a1 elem. a2. ...,>> olyan, hogy a tér minden x-eleme egyedileg jelenjen meg a gyűjtemény elemeinek összegeként, néhány numerikus együtthatókkal
(ebben az esetben azt mondják: "x az a1, a2 ..., a vektorok lineáris kombinációjaként jelenik meg"). Az ilyen elemcsoportot egy lineáris tér alapjaként használjuk, és ebben a sorozatban szereplő elemek száma a tér dimenziója.
A V 1 tér alapja bármely nem nulla vektor.
A V 2 tér alapja két nem kolináris vektor.
A V3 tér alapja bármely három nem koplanáris vektor.
Bizonyítás. Mint fentebb említettük, ha a gyűjtemény 1. 2. ..., k. a lineáris térvektorok alapul szolgálnak, akkor a vektor megfelel az egyenlőségnek
ahol bi számok.
1) Vegyünk egy tetszőleges nem nulla vektort Î V 1. Mivel minden V 1 vektor ugyanazon a vonalon helyezkedik el, azok kollineárisak, ezért minden a vektor esetében Î V 1 írható. ezért a vektor a V 1-ben alapul.
2) Két önkényes, nem-kolináris vektor a és b ÎV 2. Megmutatjuk, hogy "with ÎV 2 $ x. a Î R 2. ilyen.
Vegyünk egy tetszőleges vektort c ÎV 2. Legyen például (6. A C ponton keresztül rajzolunk egy vonalat, amely párhuzamos a b vektorral. és a D ponton egy vektorral párhuzamos egyenes vonalat. Ezután a vektor párhuzamos az a vektorral, és így = x. és a vektor párhuzamos az u = y vektorral. Ezért a háromszögből kapjuk
amit be kellett bizonyítani.
Az állítás 3) önállóan bizonyul.
Egyenlőség úgynevezett bomlás vektor a bazisua `,` b>, x és y jelentése a együtthatói bomláshoz vektora`s úgynevezett koordinátákat a bázis egy, `b>,` a Record = (x. Y) koordináta vektor formában `s.
Ha a, b. `c - nem koplanáris vektorok, akkor ezek a V 3. terület alapját képezik, ezért '' d ÎV 3 bővítés az a alapon, `b. `c` az űrlapon van
A (x, y) vagy (x.Y.Z) számkészletek valójában a 2. és 3. hosszúságú sormátrixok. Ezért koordinátákon lévő vektorok műveleteit a mátrixokra vonatkozó cselekvési szabályok szerint végezzük.
Ezért, ha a vektorok kollineárisak, akkor koordinátáik arányosak.
Ezzel szemben, ha a két vektor koordinátái arányosak, akkor:
és ez azt jelenti, hogy a vektorok kollineárisak.
Így azt bizonyítottuk, hogy ahhoz, hogy két vektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy koordinátáik arányosak legyenek.
Vegyünk egy tetszőleges vonalat l, ráadásul pedig az e egységvektort. Ez a vektor a vonalon egy vektor családot hoz létre ezen a vonalon :. Az l> 0, a és e. l <0 `а `е. значит, орт`е определяет на прямой l два противоположных направления.
Az a vonal, amelyen az irányt választják, a tengely. és az ezt az irányt meghatározó egységet a tengely ortogramnak nevezik. Az irányt, amely a száj irányával egyirányú, pozitívnak nevezik. az ellenkező irány negatív. Az Orth is meghatározza a tengelyen lévő skála és eredetét (alkalmazásának pontját). A vektor vetülete a spinra a vektor vetülete a tengely egység vektorára:
Ha egy O pontot választunk a V3 térben és önkényes alapon <> az O pontból kiindulva, akkor a négyet a padnak nevezik. Azt mondják, hogy a V 3 definiáljuk egy Descartes-féle koordináta-rendszer (affin koordinátarendszer), ha be van állítva a keretben, és minden egyes keret összekapcsolt vektor tengely, említett koordinátatengely. Az első ilyen tengely, amely megfelel az "e1" vektornak. Ez az úgynevezett X-tengely, a második - az y-tengely, és a harmadik - a Z-tengely. Jelölje meg a koordinátarendszert rendszerint OXYZ. Ezután minden egyes pontja az M-dimenziós térben van rendelve egy triplett számok M (x y z ..) - a koordinátákat a vektor (rádiuszvektorhoz e pont) a bázis <>.
Hasonlóképpen bevezetjük a sík koordinátarendszerének fogalmát.
Jelöljük i. `J. `k egymásra merőleges egységvektorok :. `i ^` j ^ `k. Nyilvánvaló, hogy ezek a vektorok alapul szolgálnak a V 3-ban. Az alap azt mondják, hogy ortonormális. Az i. Keret által generált Descartes-koordináta-rendszer. `J. `k ', a derékszögű négyszög koordinátarendszer. Így:
A háromdimenziós térben egy Descartes téglalap alakú koordinátarendszer egy gyűjtemény
- egy bizonyos O pont, amelyet a koordináták eredetének neveznek;
Az alábbiakban figyelembe vesszük a Cartesian négyszög-koordináta-rendszert (DPSK).
A Descartes-féle koordináta-rendszer koordinálja a vektor = (.. Hvostov ay AZ) rendre megegyezik a nyúlványok a vektor a koordináta tengelyen AX =, Ay =. az =.
Az alapvektorok `i. `J. A DPSK-ben a k kordináta
Vegyünk egy tetszőleges vektort ÎV 3. A koordináták tengelyével (vagy a bázissal = J. K) együtt alkotó szögek a = =. b =. g = (7. Az ilyen, cosb, cosg szögek koszinusait a vektor iránykonzinenseinek nevezik. Egy adott vektor irányú kosinusza tulajdonsággal rendelkezik
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1.
A vektor DPSK-hez viszonyított irányát jellemzik.
A választott DPSK síkjának (tér) minden M pontját hozzá lehet rendelni sugárvektorához. A DPSK pontjának koordinátái a sugárvektor koordinátái.
... Ha tudja az a pontok koordinátái A (.. XA YA HU) és B ((Xb uB zb) - elején és végén a vektor koordinátáit ezen vektor megtalálható a szabály „vektor koordinátái végén kivonás megfelelő kiinduló helyzetbe”:
Előadás 9. Vektorok szorzása. alkalmazások
Vektorok skaláris terméke, tulajdonságai, alkalmazása.