Integrálok függően paraméter

16 integrálok függően egy paraméter

Legyen f (x, y) - a függvénye két változó definiált egy téglalap

Ha bármilyen Yi [c. d] az integrál, ez az integrál függvénye y változó (amely az úgynevezett itt paraméter):

.

Így kap egy új módja a meghatározó funkció - szerves függően a paraméter.

Example1. Tekintsük a funkciót. Ebben a példában az integrál könnyen kiszámítható :. Ennélfogva, az I (a) is be lehet állítani szokásos módon :.

Azonban gyakran vannak integrálok nem lehet kifejezni elemi funkcióit. Ezután meg kell dolgozni a meghatározott funkció formájában szerves paraméterrel. Tehát meg kell tanulnunk együtt dolgozni ezeket a funkciókat - különösen ismeri a szabályokat differenciálódás és integráció.

Van még egy bonyolultabb a helyzet, ha a paraméter nem csak attól függ az integrandus, hanem a határain integráció :.

16.1 Basic tételek

16 .1 .1 határa alatt az integrál jel.

1. Tétel (a folytonosság a egybeépített paraméter). Ha az f (x, y) folytonos a téglalap D = [a. b] „[c. d]. A függvény folytonos az intervallumon [c. d].

Bizonyítás. A tétel Cantor, folytonos kompakt halmaz D függvény egyenletesen folytonos, azaz

"E> 0 $ d> 0:" x ¢, x², y ¢, y² | x ¢ -x² |

.

Most becsüljük a növekmény a függvény I (y):

.

Megjegyzés. Tétel 1 megköveteli, hogy az f (x, y) folytonos mindkét változót együtt. azaz a.

Elégtelen az f (x, y) folytonos minden változó. Például, a függvény

folytonos x (bármilyen rögzített y), és folyamatos Y tekintetében (minden egyes rögzített x) .Azonban folytonos függvény (a beállított változók) egy pontban (0 0), ez nem: nincs korlátozás. Ebben az esetben az igazságtalan és kiadási tétel 1; például, a függvény

folytonos Y = 0.

Mivel folytonosságát I (y) azt jelenti, hogy a definíció szerint bármely pontján y0. ebből az következik, azonnal 1. tétel

.

Ha j (y), Y (y) - folytonos függvény, és az f (x, y) folytonos

.

Ez a kijelentés megerősíti tétel az 1. és 2..

Egy másik fejlesztés tételek 1. és 2. A csere következtében a folytonosság követelményének f (x, y) gyengébb állapotban.

Teorema3. Ha f (x, y) folytonos x (bármilyen rögzített y) és f (x, y) konvergál egyenletesen a g (x), amikor y®y0. akkor.

Egyenletes konvergencia: eszköz:

A bizonyíték egyszerű - végezzük ugyanazt az értékelést, a tétel bizonyítása 1.

3. Tétel is érvényes abban az esetben, y® ¥. Csak meghatározása egyenletes konvergencia másképp néz ki:

amikor y® ¥ U "e $ M." y ³M | f (x, y) -g (x) |

2. példa. Számolja.

Határozat. Mivel a függvény folytonos minden x, y. lehetőség van a határ az integrál jel:

.

3. példa. Számolja.

Határozat. A integrandus folytonos minden x. y és y® ¥ hajlamos g (x) = x:

.

Ez konvergencia egyenletes, mint „xi [0. 1]

, ha csak. Szóval, tudom át a határt az integrál jel:

.

16 .1 .2 differenciálása paraméter.

4. Tétel Legyen az f (x, y) és annak részleges derivált folyamatosan változó y D = [a. b] „[c. d]. majd

.

Más szóval, a származék lehet számítani differenciálásával az integrál jel.

Bizonyítás. Kiszámoljuk az deriváltja a definíció:

.

Továbbra is bizonyítani, hogy akkor adja át a határt az integrál jel. Ahhoz, hogy használni 3. tétel, azt bizonyítja, hogy.

Mi kell alkalmazni Lagrange-tétel:

, ahol ci [y, y + Dy]. By feltételezés, - a folyamatos, ami azt jelenti, hogy a Cantor-tétel, és egyenletesen folytonos. Ebből következik, hogy

, de ez azt is jelenti, egyenletes konvergenciája:

.

Alkalmazása 3. tétel, megkapjuk, amit kellett

.

4. példa. Find a függvény deriváltját a y = 2.

Határozat. Kiszámításával integrál, hogy megtalálja explicit függvénykifejezést I (y). majd különbséget. Könnyebb, azonban, ha a 4. tétel:

,

.

Amikor xi [0. 1], és y értékei. közel 2 A funkció és annak parciális derivált nyilvánvalóan folyamatos.

Kapcsolódó cikkek