Cauchy kritérium
5.9. Cauchy kritérium
Ezen a ponton, mivel a sorozat a konvergencia-kritériumok, azaz a. E. A feltétel fennállása van egy véges határérték szempontjából csak a tagok a sorozat, más szóval bevonása nélkül az érték a határérték.
(A leírásban a „teszt” kifejezést itt abban az értelemben „szükséges és elégséges feltétel”).
11. meghatározása számszerű sorrendben xn>, n = 1, 2, az úgynevezett alapvető szekvencia. ha az teljesíti a következő feltételt: bármely> 0 számra létezik olyan n0. hogy az egyenlőtlenség minden n> n0 és m> n0
Ezt az állapotot nevezik a Cauchy állapotban. Ez lehet írni egy kicsit más formában, semmilyen> 0 számra létezik olyan n0. , hogy minden n> n0 és minden egész szám p> 0, az egyenlőtlenség
Annak ellenőrzésére egyenértékűségének ezen állítások, elegendő megjegyezni, hogy a két szám, m és n mindig nem több, mint a másik, például m> n. majd üzembe p = m - n. haladunk a rekord (5,73), hogy a rekord (5,72).
Megmutatjuk, több lemmákból találhatóak az alapvető szekvenciákat.
2. Lemma Ha a sorozatnak van véges határa. ez alapvető fontosságú.
Valóban, ha a szekvencia xn> konvergáló és egy - a határ: = a. akkor definíció szerint a határ bármely> 0, van egy szám n0. hogy az egyenlőtlenség minden n> n0