Az inverz mátrix
1. meghatározás. A B mátrixot az A mátrix inverzének nevezik, ha
ahol E az azonosító mátrix.
1. tétel (az inverz mátrix létezéséhez szükséges feltételek). Annak érdekében, hogy az A mátrix invertálható legyen, négyzetnek és nem degeneráltnak kell lennie.
Bizonyítás. A korlátozás a méret a mátrix legyen egy szükséges feltétele a létezését a mátrix szorzás művelet: az oszlopok száma az első tényező, hogy egyenlő a sorok számát a második, és mivel ebben az esetben több egymásra és kiegészítő feltétel kommutativitás (1), annak végrehajtására mátrix legyen tér mátrixok és azonos méretű.
A második feltétel szükségességét az ellentmondás bizonyítja. Tegyük fel, hogy létezik olyan A mátrix, amely degenerált; . amely egy inverz mátrixot tartalmaz.
Ezután egyrészt. másrészt. Rossz ellentmondást kapunk. Következésképpen a feltételezés hamis, és az A mátrix nem degenerált. A tétel bizonyított.
Megjegyzés. Így, ha az A mátrixnak inverz mátrixa van, akkor ugyanolyan méretű és nem-regenerált négyzetes mátrix.
Tétel 2 (inverz mátrix létezésének egyedisége). Ha a mátrix inverz mátrixa van, akkor egyedülálló.
Bizonyítás. A módszert ellentmondással alkalmazzuk. Tegyük fel, hogy létezik egy A mátrix, amelyre két különböző B és C inverz mátrix van:
Aztán, mivel. majd az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk a bal oldalon a mátrix segítségével
Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrixok egyenlők. Ellentmondás. Következésképpen, ha a mátrix inverz, akkor egyedülálló. A tétel bizonyított.
3. tétel (az inverz mátrix kiszámítására szolgáló képlet). Ha a négyzetes mátrix nem degenerált, azaz . akkor az inverz mátrixot a szabály határozza meg:
hol vannak elemek algebrai kiegészítések. ; mátrix.
Bizonyítás. Az állítás bizonyításához elegendő megmutatni, hogy az (1) feltétel teljesül.
Mivel a mátrix elemeihez tartozó algebrai kiegészítések tulajdonságai szerint (lásd a 4. pontot):
Mivel a mátrix elemeihez tartozó algebrai kiegészítések tulajdonságai (lásd a 4. pontot):
Így teljesülnek az 1. meghatározás feltételei. A tétel bizonyított.
De erre nincs különösebb szükség.
1. példa A mátrixhoz keresse meg az inverz mátrixot.