Matematikai fizika egyenletei - véges differencia módszer (eljárás rácsok)
Matematikai fizika egyenletei - véges differencia módszer (eljárás rácsok)
Az az elképzelés, a véges differencia módszer (nettó módszer) ismert hosszú ideig, a vonatkozó műveit Euler. Azonban a gyakorlati alkalmazása ezt a módszert, akkor nagyon korlátozott, mivel a puszta mennyisége a kézi számítások kapcsolatos dimenziója a kapott algebrai egyenletek kell megoldani, amely évekig tartott. Manapság, az Advent a nagy sebességű számítógépek, alapvetően megváltozott a helyzet. Ez a módszer vált kényelmes gyakorlati haszna, és az egyik leghatékonyabb a különböző problémák megoldásában a matematikai fizika.
Az alapötlet a véges differencia módszer (eljárás rácsok) a közelítő numerikus megoldása a határ érték problémát a két-dimenziós differenciálegyenlet részleges származékok az, hogy
1) a síkban a területen egy, hogy az oldatot kívánt oblastAs rostéiyszerkezet (1), amely az azonos szembőségű s (k - hálókiosztás), és hogy egy közelítését az A területet;
2) egy előre meghatározott parciális differenciálegyenlet helyébe származékok Amint a rácspontok megfelelő véges differencia egyenlet;
3) figyelembe véve a peremfeltételeket állítva a kívánt megoldás, hogy a határoló csomópontok a terület néven.
Ábra. 1. építési rács nagysága
Megoldása a kapott rendszer véges differencia algebrai egyenletek, megkapjuk az értékek az ismeretlen funkciót a csomópontok a Ahogy rács. azaz közelítő numerikus megoldás a problémára. Kiválasztása a rács területe Mivel függ az adott problémát, de mindig meg kell küzdeni, hogy a rács területén Csakúgy közelíthető kontúr zajkontúr A.
Tekintsük a Laplace-egyenlet
ahol p (x y.) - a kívánt funkciót, x. y - koordinátáit a négyszögletes lapos régió, és így a megfelelő véges differencia egyenlet.
Cserélje részleges származékok (1) egyenlet véges differencia kapcsolatok:
Ezután megoldása az (1) egyenlettel képest o (. X y), kapjuk:
Azáltal, hogy az értéke egy függvény p (x. Y) a rács területének határa csomópontjai Amint áramkör megfelelően a peremfeltételek és oldja meg a kapott egyenletrendszert (2) az egyes rács csomóponthoz, megkapjuk a numerikus megoldása határ érték probléma (1) egy előre meghatározott régióban A.
Nyilvánvaló, hogy a számú egyenlet (2) egyenlő a csomópontok száma a rács terület néven. és a több csomópont (azaz, minél kisebb a háló), annál kisebb a hiba kiszámítása. Azonban nem szabad elfelejteni, hogy a csökkenés a pályát s növeli a méretét a rendszer, ezért a megoldási idő. Ezért azt javasoljuk, hogy végre tárgyalás számítások elég nagy lépést s. a kapott hiba becslése számítás, és csak ezután mozgassa a finomabb rasztert a teljes területet vagy ennek meghatározott része.