Az egyenértékű képletek, a diszkrét matematika megszerzésének módjai
A logikai műveletek tulajdonságai (kommutativitás, asszociativitás, idempotencia, eloszlás, felszívódás) alapján egyenértékűségek. A műveletek kapcsolatán alapuló egyenértékűség. A kettősségen alapuló egyenértékűségek.
A szubsztitúció segítségével egyenértékű képleteket kaphatunk, a logikai műveletek ismert tulajdonságaitól kezdve.
TEOREM 2.5. Az X. Y és Z formulájú formulák esetében az alábbi ekvivalencia igaz:
◀ A tétel ugyanúgy bizonyítható, mint az előző. Például egyszerű egyenértékűség alapján (¬ (¬ x)) ≡ x. az x változó helyett az X képlet helyettesítve kapjuk az ekvivalenciát (¬ (¬ X)) ≡ X. ▶
A dualitás fogalmát a Boole-függvény elméletétől átveszik a proposicionális algebrába. Ebben az esetben olyan alapkészítményekről beszélünk, amelyek csak az alapműveleteket tartalmazzák ∨, ∧, ¬. Minden ilyen X képlet esetén a kétszeres X * képletet a ∨ és ∧ műveletek kölcsönös cseréjével nyerjük.
A kettős képletre történő átmenet megfelel az F (x) logikai függvénynek az f (x) kettős függvényhez való átmenetéhez. A dual funkciók koncepciója lehetővé teszi számunkra, hogy bemutassuk a dualitás fogalmát a javaslatok minden feltételes algebra számára, de az önkényes képletek esetében a kettősség nem olyan egyszerű, mint a három bázis műveletek esetében. A dual funkciók fogalmából következik, hogy a dualitás egy szimmetrikus kapcsolat, X ** = X (itt az egyenlő jel nem jelenti a képletek egyenértékűségét, hanem véletlen egybeesésük). A funkciók dualitásának fogalma a következő egyenértékűséget jelenti: