harmonikus
A maximális elve
A funkció U, harmonikus a D tartomány Eléri a maximális és minimális csak a határ ∂ D. Így a harmonikus függvény nem lehet a belső tartományban a helyi szélsőérték pont. kivéve a triviális esetén állandó a D funkciót. Azonban, a funkció lehet definiálatlan határán, tehát helyes azt mondani, ∀ m ∈ D inf Q ∈ D U (Q)
Harmonikus függvény definiált R n> ^> és korlátos felülről vagy alulról, állandó.
átlagos tulajdonság
Ha u harmonikus egyes labdát a B (x 0))> a központtól x 0>. értéke x pontban 0> megegyezik az átlagos értékkel a határ a labdát, vagy a labda:
Ezzel szemben minden folytonos függvény a tulajdonság, hogy az átlag az összes golyót fekve egy bizonyos régióban, a mezőn van, harmonikus.
differenciálhatósága
Funkció harmonikus a régióban, végtelenül differenciálható benne.
Ha a függvény U (M) = u (x 1 x k). X _)>. Harmonikus a k-dimenziós labda Q r> R sugarú középpontú egy pont M 0>. nemnegatív ebben a labdát, majd annak értékeit a pontokon M belsejében a gömb egyenlőtlenségek: R K - 2 R - R (R + R) K - 1 U (M 0) ≤ U (M) ≤ R K - 2 R + R (r - r) k - 1 U (M 0) >>> U (M _)> \ leq \ Leq >> U (M _) >>. ahol r = ρ (M 0. M)
Legyen v n (Z) (Z)> - pozitív harmonikus függvények egy bizonyos területen D. Ha a sorozat Σ 1 ∞ v n (Z) ^ V_ (Z)> konvergens legalább egy ponton a D régióban konvergál egyenletesen belsejében D.