Az alapvető tulajdonságait harmonikus függvények - studopediya
Funkció folyamatos együtt származékai akár másodrendű egy bizonyos térfogatú és kielégíti a Laplace-egyenlet nevezzük harmonikus függvény.
1. Tekintsük az U. harmonikus egy korlátos tartomány D a felülettel S. Feltételezve, hogy U folytonos a másodrendű fel a S. és alkalmazása a második Zöld képletű (2), hogy a függvény U és a harmonikus függvény V = 1, megkapjuk folytán DV = D (1) = 0, és
vagyis mi az első ingatlan harmonikus funkciók: a beépített normál származékot egy harmonikus függvény felületének nullával egyenlő.
2, akkor, a DU = 0, megkapjuk Ha alkalmazzuk, hogy egy harmonikus függvény U általános képletű (3):
Ez ad nekünk egy második, tulajdonságot harmonikus függvény: az érték egy harmonikus függvény bármely pontján területen belül kifejezett értékeit a funkció és a normál-származék a felületi régiójának (2) képletű.
3. Alkalmazzuk a (2) képletű a középpontú gömb és R sugarú Figyelembe véve, hogy a függvény U harmonikus ezen a területen, és folyamatos az elsőrendű fel a felszínre.
Ebben az esetben, az irányt a szokásos N egybeesik a gömb sugarának, hogy mi lesz
és általános képletű (2) ad
De a nagysága r gömb állandó értéke R úgy, hogy
vagy az (1), végül is
Ez a képlet fejezi ki harmadik tulajdonsága harmonikus függvények: az érték egy harmonikus függvény közepén a gömb egyenlő a számtani középérték ennek a funkciónak a gömb felülete, azaz egyenlő a integrálját függvény értékei a felületen a gömb, osztva a terület a felületre.
4. A funkció harmonikus a tartományon belül, és folyamatosan fel a határ, eléri a maximális és minimális értékek csak a határ, kivéve abban az esetben, ha ez a funkció állandó.