Algebra Lineáris transzformációk
C = (hasonlítson A + B), D = (hasonlítsuk össze AB).
Vegye figyelembe, hogy az átalakítás a C = + - degenerált.
Vegyünk egy nem degenerált átalakulás.
Conversion -1. átalakítja az egyes x vektor az x vektor. Ez az úgynevezett inverz lineáris tér L. kpreobrazovaniyu
Meg lehet mutatni, hogy az egyenlőség
Ha egy nem-degenerált transzformáció egy adott alapot nonsingular mátrix, az inverz transzformációt adja -1 e bázis mátrix -1.
Conversion megfordította úgynevezett reverzibilis átalakulás.
Ha reverzibilis átalakulás - lineáris, az inverz transzformáció 1 is lineáris, mint 9. A meghatározása szerint,
-1 (+) = -1 () = = -1 () + -1 (),
-1 (l) = -1 () = = l -1 ().
Nyilvánvaló, hogy a személyazonosság operátor inverze is.
Ebből következik az eredményekből, hogy a művelet a lineáris transzformációk ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint a műveletek mátrixok, például kívül van kommutatív és asszociatív:
szorzás asszociatív, de nem kommutatív:
Identity átalakulás szerepet játszik többek között az átalakulás egységek, és a nulla - nulla szerepet.
A sajátvektorok és sajátértékei a lineáris transzformáció
Tegyük fel, hogy egy négyzetes mátrix a rend n
A mátrix kialakításához érte
ahol l - tetszőleges számú, és az E - az identitás mátrix. Matrix (A - LE) karakterisztikus mátrixa A mátrix és az egyenlet
| A-LE | = 0 vagy = 0
Ez az úgynevezett karakterisztikus egyenletének a mátrix A.
Nyilvánvaló, hogy a meghatározó | A - LE | Ez a polinom foka n tekintetében l. Ez a többtagú is nevezik a karakterisztikus polinomja a mátrix, a gyökerei a polinom nevezzük a jellegzetes gyökerek (számok) a mátrix A.
Be tudjuk bizonyítani, hogy hasonló mátrixok azonos karakterisztikus polinomja, és ezért ugyanazokat a jellegzetes gyökereit.
Mint tudjuk, a szögletes mátrixok és lineáris transzformációk az egyben megfelel, és a mátrix meghatározó lineáris transzformáció különböző bázisok hasonlóak. Ezért, bár a lineáris transzformáció különböző megadott bázisok különböző mátrixok, de az összes ilyen mátrixok azonos a jellemző gyökerek. Ezért a jellemző gyökerek a transzformációs mátrix az úgynevezett jellemző gyökereit az átalakulás. Tekintsük az egyik alkalmazásra az átalakulás jellemző gyökerek.
PustL n - lineáris tér ,: L n ® L N - lineáris transzformációja a teret. Nemnulla vektort nevezzük sajátvektor a lineáris transzformáció. Ha ez a transzformáció fordítja a vektorba az L és. azaz
ahol l - egy valós szám. Ahol L jelentése úgynevezett sajátérték vagy sajátérték egy lineáris transzformáció. és a megfelelő sajátvektor.
Mivel a lineáris transzformációk és mátrixok az adott alapot egyben megfelelés, akkor ezek a fogalmak is alkalmazható mátrixok. Így, ha A jelentése - egy négyzetes mátrix (mátrix lineáris transzformáció néhány alapon), X - oszlop mátrix vektor koordinátákat és ¹ 0 (ebben az ugyanazon az alapon), akkor a vektort nevezzük sajátvektorának, és a szám l - sajátértéke mátrix, ha AX = LX.
Let - sajátvektor lineáris transzformáció. bizonyos, előre meghatározott alapon mátrix A B, l - ezt a vektort megfelelő sajátérték, azaz és = a Föld. és ¹ 0. Legyen X = - koordináta vektort és egy oszlop a B bázis, mivel a mátrix formában egyenletben u = L, és van írva, mint
AX = LX Þ AX - LX = O, (A - LE) X = O.
Ha A =. És akkor - LE =
és egyenlet (A - LE) X = O ekvivalens a lineáris egyenletrendszer
Mivel X - nem nulla oszlop mátrix, ez a rendszer egy nem-triviális megoldás, ami csak akkor lehetséges, ha a fő meghatározója ennek mátrix rendszer nulla, azaz a ha a feltétel.
Következésképpen, a sajátértékei a transzformáció L (vagy A) mátrixban gyökerei. azaz valós jellemző gyökerei ennek transzformációs (mátrix).
Megfordítva, tegyük l0 - jellemző gyökér átalakulás. azaz l0 a gyökere a karakterisztikus polinom. Ezután, ha L = L0 determinánst (*) értéke nulla, tehát a rendszer egy nem triviális megoldás. Mivel a rendszer (*) egyenértékű a mátrix egyenlet. vagy. Az oldatot a rendszer van egy oszlopban X =. amely lehet tekinteni, mint egy koordináta és oszlopvektor. kielégíti az egyenlőség u = l0i. azaz saját transzformációs vektor. megfelelő sajátérték L0.
Így beláttuk, hogy az igazi gyökereit a jellemző lineáris transzformáció, ha vannak ilyenek, és csak ezek sajátértékei ez az átalakulás.
Sajátérték nevezzük T-szeres. Ha ez így van-szeres gyökere a karakterisztikus egyenlet. Ha a saját jelenti - egy egyszerű gyökér a karakterisztikus egyenlet, akkor az úgynevezett egyszerű sajátérték.
A fentiekből következik, algoritmust nahozhdeniyasobstvennyh értékek és jellemző transzformációs vektorok:
1. Válasszon egy előre meghatározott lineáris tér önkényes alapon.
2. Keresse meg a transzformációs mátrix az ezen az alapon.
3. Keressen egy jellemző konverzió. megoldása az egyenletnek
és egyes kiválasztott érvényes, amelyek a sajátértékek. Ha nincs igazi jellegzetes gyökerek, nincs sajátértékek vagy sajátvektor.
4. Töltsük fel a rendszert (7.1)
és feltételezve, l találtam az egyik sajátértékek li. találni nulla megoldást Xi = a rendszer. A kapott vektor Andi = Xi = a sajátvektor megfelelő sajátérték visszanyert li.
5. 4. bekezdés e algoritmus ismétlődik mindegyik a saját értékeit.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy mivel mindegyik sajátérték li rendszer (7. 1) számos megoldást, akkor ez az átalakulás van egy végtelen számú sajátvektorok megfelelő sajátértékek li.
Találd meg a saját transzformációs vektorok. előre meghatározott mátrix A =.
1. és 2. bekezdés az algoritmus befejeződött. Tekintsük most a harmadik pontot. Mi alkotják a karakterisztikus egyenlet és megtalálja a gyökereit:
Ez a valós számok, akkor azok a sajátértékek.
Egy olyan rendszer felállítása, a forma (7.1): Keressük a megoldást erre a rendszer egyes kapott sajátértékek.
Amikor helyezett kapjunk ez a rendszer nyilvánvalóan egyenlő 1, akkor a rendszer egyenértékű egyetlen egyenletet. megoldó amelyben találunk x1 = 3x2. Hagyja, x2 = t. Kapjuk x1 = 3t. akkor a sajátvektor u1 = (3t. t) megfelel a sajátérték.
Ha kapsz egy rendszert rangot is egyenlő 1, így ez felel meg az egyenlet x1 + x2 = 0, = x1 - x2 .Ha. Kapjuk. Így van egy sajátvektor u2 = (-s s.), Amely megfelel a sajátérték l1 = - 2.
Így, van egy család sajátvektorok u1 = (3t t.), Amely megfelel a sajátérték l1 = 2, és a család a sajátvektorok U2 = (- s s.). megfelelő saját értékek szorzata l1 = - 2.