megfelelő integrálok
1. Megfelelő integrálok, attól függően, hogy a [2,5]
Hagyja, hogy a meghatározott négyszög függvény integrálható a szegmens minden rögzített. Ebben az esetben a kiválasztott funkció az úgynevezett szerves függően a paraméter.
1. Tétel Ha folyamatos a téglalap, akkor a függvény:
1) folytonos a szegmens;
2) integrálható a szegmens és a egyenlőség
41) Vegyük növekszik. Annak bizonyítására, a folytonosság a funkciók szükséges bizonyítani, hogy az. Mivel a függvény folytonos egy zárt halmaz, a Cantor-tétel ez egyenletesen folytonos rajta. ezért
Helye a középérték-tétel azt kapjuk, hogy.
2) Mivel a függvény folytonos az intervallumon, akkor integrálható ebben a szegmensben, azaz Van egy kettős integrál. Ezért iterált integrálok (megjelenő arányban) egyenlő, ami azt bizonyítja, az érvényességét a 3 általános képletű
Tétel 2. Ha a funkció és a parciális derivált folytonosak a téglalap, akkor a funkció folyamatosan differenciálható a szegmens és származéka lehet kiszámítani Leibniz szabály.
4Rassmotrim kisegítő funkciót. Mivel a folyamatos a téglalap, akkor az előző tétel a folyamatos és integrálja egy függvény megtalálható a következő képlettel.
Következésképpen ,. A származék a szerves változó felső határa egy folytonos függvény létezik és egyenlő értékét a függvény a ponton, így
Az általános eset. Ha bármilyen rögzített függvénye a szegmens integrálható egy szegmens, a szegmens van definiálva, hogy működjön
képviselő szerves függően egy paramétert, amelynek keretein integráció is függ paraméter.
3. tétel Tegyük fel, hogy a függvény folytonos egy téglalap, és a funkció és folyamatos a szegmensben. Ezután a függvény folytonos a szegmensben.
4Pust - rögzített. Az az alábbi űrlapot
Mivel - szerves függően egy paraméter konstans határértékeinek integráció és a folyamatos integrandust, majd 1. tétel ez az integrál egy folytonos függvény, és ezért a megközelítések.
Integrálok és a következő becsléseket (a középérték-tétel):
hol. Mivel a függvények folytonosak az intervallum, mikor és így az integrál is hajlamosak 0. Tehát a határ a jobb oldalon, és ha van. Következésképpen, a függvény folytonos bármely ponton szegmens .3
Következmény. Ha, akkor
4. Tétel Legyen a függvény és származéka folyamatos a téglalapot. Tegyük fel továbbá, hogy a funkciók és differenciálható a szegmensben. Ezután a függvény differenciálható a szegmensben, és
4Pust - rögzített. Képviselteti magát a formában.
- szerves függően egy paraméter konstans határértékeinek integráció és a folyamatos integrandust, ezért alapján, a 2. Tétel, a függvény differenciálható a szegmens és.
Definíció szerint a függvény deriváltját jutunk.
A képlet szerint középérték. A folytonosság funkció, amely; és és differenciálható függvények, ebből következik, hogy. ezért
Hasonlóképpen tudjuk bizonyítani. Mivel tetszőleges pontja a szegmens, lehetséges, hogy azt mondják, hogy a függvény differenciálható a szegmens és származéka lehet kiszámítani a következő képlet szerint .3
2. Hibás integrál korlátos függvények,
paramétertől függően
Hagyja meg a fél-integrálható függvények helytelen értelemben egy fél minden rögzített a szegmensben. Ilyen körülmények között, a meghatározott szegmens nevezett funkció nem megfelelő szerves az első fajta, attól függően, hogy egy paraméter. Ugyanakkor azt mondják, hogy az integrál konvergál a szegmensben.
Helytelen integrál azt mondta, hogy egyenletesen konvergálnak egy paramétert a szegmensben, ha konvergál a szegmens, és ha létezik, csak attól függ, hogy és a egyenlőtlenség.
2.1. jelei a konvergencia
5. Tétel (Cauchy kritérium). Ahhoz, hogy a nem megfelelő szerves konvergál egyenletesen a paraméter a szegmensben, szükséges és elégséges ahhoz, hogy adja meg a számát, amely attól függ, csak és olyan, hogy:
Következmény. A nem megfelelő szerves konvergál egyenletesen a szegmenst, ha
6. Tétel (jele Weierstrass). Legyen a függvény definiált a fele, és az egyes szegmensek integrálható bármely szegmensben. Tegyük fel továbbá, hogy az összes pontot a félig csík az egyenlőtlenséget, azaz Ez egyenletesen korlátos. Ezután a konvergenciája integrál következik az egyenletes konvergenciáját az integrál a szegmensben.
4Tak ahogy van. Következik a konvergencia (Cauchy kritérium) a egyenletes konvergenciája az integrál .3
Következmény. Legyen a függvény definiált a fele, korlátozott ezen a fél-szalag és minden egyes integrálható bármely szegmensben. Ezután, ha a szerves konvergál, akkor konvergál egyenletesen tekintetében az integrál szegmens.
Tétel 7. (Jelek Dirichlet és Abel).