Egyenlőség, egyenlet, azonosság
Az egyenlőségjel használják a matematika igen gyakran, és amelynek értelmében csatolták e jel, hogy nem mindig ugyanaz. Oly gyakran össze egy egyenlőségjel két szám, például:
1370 = 3 · 2 × 31 5 (1);
Minden ilyen bejegyzés a nyilatkozatot, amely lehet igaz vagy hamis. A fentiek közül négy állítást ez a fajta a második, harmadik és negyedik igazak, és az első - hamis.
Annak érdekében, hogy ellenőrizze az igazság (vagy hamis) az ilyen nyilatkozatok, gyakran szükség van, hogy bizonyos műveleteket, mint például összeadást frakciók, faktoring, az építőiparban az összeg két szám a téren, stb azonban értelmében az egyenlőségjel mindezekben az esetekben, egy és .. ugyanaz: az igazság ez az állítás, hogy a bal és a jobb az egyenlőségjel érdemes egy és ugyanaz a száma (csak lehet rögzíteni különböző módon).
Nyilatkozatok az ilyen típusú lesz az úgynevezett numerikus egyenlőséget. Ha egy numerikus egyenlőség igaz állítás, a rövidség kedvéért, mondván: „Ez - a valódi egyenlőség”. Így a (2) egyenlet - a jobb. Ha egy numerikus egyenlőség hamis állítás, a rövidség kedvéért, mondván: „Ez egy rossz egyenlőség”. Például, (1) -Wrong egyenlőség.
Egy másik értelemben a szimbólum = használatos, amikor az egyenlőség funkciókat. Emlékezzünk, hogy a két F (x) és g (x) feltételezzük, hogy (m. E. ugyanaz), ha egyrészt a régió definícióját két funkciót egybeesik, másrészt, tetszőleges számú x0. tartozó általános területén meghatározásának ezeket a funkciókat, az értékeket a funkciók x0 egybeesik, azaz. e. igaz az egyenlet numerikus f (x0) = g (x0). A egyenlőség funkciók (x) és g (x) általában belépési f (x) = g (x).
Például, írunk (x 2 + 1) x 3 = 6 + 4 + Zx. Zx 2 + 1, kifejezve, hogy rekord az a tény, hogy a bal és a jobb az egyenlőségjel egyenlő funkciók (pl. E. A bal és a jobb oldalon ugyanaz a funkció, de lehet rögzíteni különböző módon).
Felvett kifejező egyenlőség (m. E. átfedés) két funkció helyett a = jel gyakran használják, az úgynevezett identitás egyenlőségjel.
Felvételi f (x) g (x) jelzi koincidencia f (x) és g (x). Rögzítése egyenlőség a két funkció (azaz. E. Az arány az f (x) = g
Hangsúlyozzuk ismét, hogy amikor azt mondjuk, hogy az f (x) = g (x) az identitás, akkor az azt jelenti, hogy a domain az f (x) és g (x) azonos, és ugyanabban az időben minden x0. tartozó terület meghatározására érvényes egyenlet numerikus f (x0) = g (x0).
Példák identitások arányok a következők lehetnek:
(X + 1) 2 = x 2 + 2x + 1,
sin 2 x = 1 - cos 2 x.
Néha, ha figyelembe vesszük identitásokat kell körét korlátozni a függvények definiálása. Nevezetesen, azt mondjuk, hogy az egyenletet f (x) = g (x) egy azonosság a készlet M, ha egyrészt, több M tartalmazza a domain az egyes F (x), g (x), vo Másodszor, tetszőleges számú x0. tartozó beállított M, érvényes egyenlet numerikus f (x0) = g (x0) Ebben az esetben, levelet:
1. példa egyenlőség egy azonosság a beállított nem negatív egész, m. E. X x 0.
Megjegyzendő, hogy mind az y = x és y = kerülnek meghatározásra a valós számok halmazán, de az értékek azonosak csak a sor nemnegatív egészek. A készlet összes valós szám összefüggés az azonosság nem.
2. példa Tekintsük egyenlet arcsin (sinx) =. Mindkét funkció (állva a bal és jobb oldalán az egyenlet) halmazán megadott összes valós szám. Azonban az egyenlőség van írva identitás csak a [0], t. E. ARCSIN (sin x) = 0, ha x természetesen írásakor identitások nem feltétlenül jelentenek a funkció érvelését x. Érv lehet betűvel jelölt z, betű, vagy bármilyen más jellegű.
(Z + 7) 2 = Z 2 - 14z + 49
(A - 1) (a 2 + a + 1) = 3 - 1
identitások a sor összes valós számok (vagy akár a készlet komplex számot) is figyelembe kell venni függő funkció két vagy több érv és az írás az identitás ilyen funkciókat. Természetesen ebben az esetben is meg kell határozni, bármilyen értéket írásbeli érveket egyenlőség azonosság.
Például, az egyenlő log2 egy b = b log2 a jelentése egy identitást a> 0, és valódi b; egyenlőség
azonosság x + k, y + n, x + y + m, ahol k, n m bármilyen egész szám, és r. d.
Megvizsgáltuk a két esetben az = jelentkezni algebra: a felvétel numerikus egyenletek és rögzítése identitás (az utóbbi esetben, néha helyébe a jele egy teljesen más értelemben vett = megjelölést használják, ha figyelembe vesszük egyenletek egyenlet egy ismeretlen x általános esetben felírható ..
ahol f (x) és g (x) - véletlenszerű funkció, ezért a megjelenés az egyenlet ugyanúgy néz ki, mint az identitás: két funkciót, összekötve egy egyenlőségjel. De amikor azt mondjuk, hogy a kapcsolat (5) egyenlet azt mutatja, a hozzáállásunk ennek az egyenletnek. Vagyis, ha azt mondjuk, hogy (5) egyenlet, az azt jelenti, hogy az (5) egyenlet kezelik határozatlan mondat (egyes x értéke igaz, más-hamis), és mi érdekli megtalálni a gyökereit az egyenletben t. E . azokat az értékeket, melyek x helyettesítés bizonytalan kijelentés igaz lesz. Részletesebben, a gyökér (vagy oldat formájában) minden hívott számot, helyettesítve egy ismeretlen, amelyben helyett egyenlet mindkét oldalát, csak kapott (jobbra) numerikus egyenlőséget. De mit jelent a „méltányos numerikus egyenlőség”? Ez azt jelenti, hogy egyrészt a helyettesítés helyett számok az ismeretlen minden körvonalazott intézkedések a bal és jobb oldalán az egyenlet is, elképzelhető, másrészt pedig ennek eredményeként ezek a tevékenységek a bal és jobb oldalán, hogy ugyanannyi. Más szóval, a szám a gyökere (5) egyenlet, ha először is, hogy szám tartozik a domain függvény f (x), és a domain a g (x), másrészt pedig az értékek ezeket a funkciókat a ponton és ugyanaz, azaz a. e.
f (a) = g
Tehát, ha azt mondják, hogy az (5) egyenlet kezeljük, mint egy egyenlet, az azt jelenti, hogy mi érdekel megtalálni a gyökereit az egyenletben t. E. A értékei húzási arány (5) a megfelelő numerikus egyenlőséget.
3. példa Az egyenlet (x - 1) 2 = x 2 - 2x + 1, bármilyen valós szám b a gyökér, mivel az egyenlet (b - 1) 2 = b 2 - 2b + 1 teljesül bármely valós szám b.
4. példa Ha figyelembe vesszük az egyenlet | x | = X halmazán összes valós szám, akkor minden nem negatív szám gyöke az egyenlet (nincs más gyökerek).
5. példa egyenlet LGX = 1g (- x) nincs megoldás, mivel a bal oldali Ennek az egyenletnek meghatározott pozitív értékek x, és a megfelelő - a negatív, azaz, a domén a bal és jobb részei nincs közös pont ...
6. példa cosx = 2 egyenletnek nincs megoldás a valós számok halmazán, mert | cosx0 | 1 minden valós szám x0.
7. példa: Egyenlet 2 x = -1 nincs megoldások namnozhestve valós számok, és a két oldatot, X = I és X = -i. A készlet komplex számot.
Ha talál egy bizonyos sor x értékek, amelyek mindegyike a gyökere az egyenlet f (x) = g (x), akkor ez nem jelenti azt, hogy megoldotta az egyenletet.
Oldjuk meg az egyenletet - azt jelenti, hogy megtalálja az összes megoldást (vagy annak bizonyítására, hogy az egyenletnek nincs megoldása).
Megjegyzendő, hogy ez értelmetlen fel a kérdést: „Az egyenlőség f (x) = g (x) személyazonosító vagy egy egyenletet.” Egy és a .zhe egyenlőség f
8. példa Egyenlő lehet tekinteni, mint egy azonosságot és egy egyenletet. Ha kezeljük ezt az egyenletet személyazonosság, a legteljesebb összetétele a következő: az egyenlőség az identitás, ha x> 0. Ha ezt, mint egy egyenlet, hogy az egyenlet azt jelenti, hogy figyelembe vesszük a problémát: az egyenlet megoldásához, azaz. . felveti a kérdést, hogy mi vagyunk a gyökerek az egyenlet. A válasz az lenne: a gyökerek az egyenlet összes nem negatív egész számok, és ők egyedül.
9. példa értelmetlen emelni a kérdést, hogy az arány a 0 · x + 5 = 5 vagy személyazonosító egyenlet. Azt lehet mondani, hogy ez egy azonosítót a készlet minden valós számok. De azt is látni ezt a kapcsolatot, mint egy egyenlet, majd azt mondják, hogy a gyökerek az egyenlet mind valós számok.
Megjegyzés. Amellett, hogy a fenti esetekben a használata az egyenlőségjel a matematika is vannak mások. Expressziója így a formában „tartjuk az f (x) = x 3 - Sx 2 + 5x + 11„gyakran használják, mint a meghatározása. Ebben az esetben, a = jel jelentése, hogy mindenhol a folyamatban lévő argumentum, f (x) lesz jelöli az adott funkciót.