Integrálása trigonometrikus függvények - studopediya
Ily módon a felső ív (A pont) megfelel a paraméter értékét t1 = 0, a felső (B pont) - értéke t2 = p. és a végén (C pont) - a értéke t3 = 2p. A teljes terület a ciklois ívek megtalálható terület kiszámításával S1 felében Arch (ábra. 8.4). A képlet szerint 8,13 kapjunk
2. számítása az ív hossza a sík görbe
1, feltételezzük, hogy a síkban egy ív (görbe vonal) egy grafikon, egy folyamatosan differenciálható függvénye y = f (x) intervallumban
[A; b] (ábra. 8.1). Ebben az esetben, az L hossza az ív lehet kiszámítani a következő képlet segítségével:
. (8,14)
1, feltételezzük, hogy az ív (8.1 ábra). Van egy grafikon meghatározott parametrikusan intervallumon [t1; t2], ahol az y (t) és x (t) folyamatosan differenciálható egy adott intervallumban. Ezután az ív hossza L lehet kiszámítani a következő képlet segítségével:
Feladat 8.7. Számoljuk ki a hossza az ív parabola semicubical a [0; 1] (ábra. 8.5).
Határozat. Neil-parabola két szimmetrikus tengely körül OX ágak. Legelőnyösebb hossza L egyenlő a hosszúságok összegét az íveket (L1) és (L2). Mivel az ív hosszát és az azonos, akkor L = 2l1.
Így, az alábbi képlet szerint (8,14) kapjuk:
Feladat 8.8. Számoljuk ki a hossza astroid
(Ábra. 8.6).
Határozat. Astroid, valamint a cikloist (feladat 8.6) lehet kialakítani a pontokat (mint egy gyakorlatot, hogy csináld magad). A astroid van osztva négy egyenlő hosszúságú részre. Találunk az ív hosszát astroid található az első negyedévben, és szorozza meg néggyel. ív tetején (pont N) megfelel a paraméter értékét. vége ív (M pont) megfelel a paraméter értékét.
Így az (8.15), azt látjuk, a hossza a astroid:
3. kiszámításához térfogatban egy ismert keresztmetszetű.
Tegyük fel, hogy a nyúlvány egy test a OX tengely a szegmens [a; b] (ábra. 8.7). Tegyük fel, hogy minden ponton x intervallum [a; b] tudjuk, hogy a területen S (x) a keresztmetszete a test. Osszuk az intervallumot [a; b] n pontot a részek és szállítására pontok mindegyikében kapott merőleges síkban a tengelyre OX. A kellően nagy számú válaszfalak
[A; b], a test vágjuk nagyszámú alkatrész (rétegek), amelyek mindegyike lehet közelítőleg tekinthető egy henger. A magasság az i-edik réteg (henger) van Dxi = xi - xi-1.
Az i-edik alapterülete henger kerül. ahol - egy tetszőleges pont i -edik szegmens. Majd a térfogatot i-edik réteg közelítőleg egyenlő. Következésképpen, a test térfogata
De az összeg (8,16) integráns összeget határozott integrál. Így, ha a funkció S (x) folytonos intervallumon [a; b], akkor a test mennyiséget egy ismert keresztmetszetű S (x) egyenlő
4. összeg kiszámítása adott test forgási
Tegyük fel, hogy az intervallumban
[A; b] egy folytonos függvény
y = f (x). Találunk térfogatú test, amelyet úgy kapunk, forgatásával függvény grafikonját körül OX tengely adott intervallumban. Bármilyen szakasza a test egy síkban a tengelyre merőleges OX. Ez egy kör (ábra. 8.8). A kör sugara egy ponton x Î[A; b] egyenlő értékét a függvény f (x) ezen a ponton. Következésképpen, a terület a kör egyenlő. Behelyettesítve S (x) (8,17), megkapjuk képletű forgástest térfogata:
Feladat 8.9. Számítsuk ki a térfogatát az orsó (lásd Figure 8.9.) A cím szerinti körüli forgatás tengelye OX szinuszhullám elhelyezett részből, az [0; p].
Határozat. A kívánt mennyiségű test forgásának megtalálják a képlet (8,18):