Gödel-tétel
A téma: „Gödel-tétel”
1951-ben Kurt Gödel-ben elnyerte a legmagasabb tudományos odaítélési USA - Einstein-díj. Egy cikket szentelt ezt az eseményt, más neves matematikusok korunk, Neumann János írta. [1] „A hozzájárulást a Kurt Gödel a modern logika valóban monumentális. Ez - több, mint egy emlék. Ez egy mérföldkő, amely elválasztja a két korszak ... nem túlzás azt mondani, hogy a Gödel munkája gyökeresen megváltoztatta a nagyon tárgyát logikát, mint a tudomány. "
Gödel nem-teljességi tétele
Az első nem-teljességi tétele
Az első tétel a Gödel hiányos. Úgy tűnik, hogy a legjelentősebb eredménye a matematikai logika. Ez a következőképpen hangzik:
Bármely következetes formai és kiszámíthatóság elmélete, amely bizonyítani tudja az alapvető számtani állítások építhető istinnoearifmeticheskoe nyilatkozat az igazság, amely nem bizonyítható az elmélet [1]. Más szóval, minden nagyon hasznos elmélet, amely elegendõ a számtani nem lehet egyszerre konzisztens és teljes.
Itt a „elmélet” azt jelenti, „végtelen” állítások, amelyek közül néhány támaszkodnak valódi bizonyítékok nélkül (ilyen kijelentések nevezzük axiómák) és mások (tétel) származhat axiómák, és ezért hivatkozhat (bizonyított) igaz. A „kimutatható elmélet” azt jelenti: „kimenetét axiómák és elmélet primitívek (állandó alfabetikus karakter) szokásos logika (elsőrendű).” Az elmélet konzisztens (koherens), ha lehetetlen dokazatprotivorechivoe nyilatkozatot. A „lehet kialakítani” azt jelenti, hogy van egy mechanikus eljárás (algoritmus), hogy lehet építeni egy kijelentés alapján axiómák, primitívek és az elsőrendű logika. „Elemi számtani” a jelenléte a műveletek az összeadás és szorzás a természetes számok. A kapott igaz, de nem bizonyítható állítás gyakran jelzi egy adott elmélet, mint a „sorozata Gödel”, de van egy végtelen számú egyéb kimutatásokat az elmélet, amely azonos tulajdonság: bizonyíthatatlan érvényességi idején belül az elmélet.
Az a feltételezés, hogy a kiszámíthatóság elmélete azt jelenti, hogy elvileg lehetséges megvalósítani egy számítógépes algoritmus (számítógépes program), amely (ha hagyjuk számítani tetszőleges hosszú vreya akár végtelen) kiszámítja egy listát az összes tétel az elmélet. Tény, hogy elég kiszámítható csak a lista axiómák és az összes tétel hatékonyan lehet termelni egy ilyen lista.
Az első nem-teljességi tétele volt címmel a „tétel VI» cikk Gödel 1931 Formálisan eldönthetetlen Propositions a Principia Mathematica és a kapcsolódó rendszerek I. Az eredeti felvétel Gödel így hangzott:
„Az általános következtetés, hogy létezik a megoldhatatlan javaslatok a következők:
minden # 969; S-konzisztens rekurzív osztályú k rekurzív képletű létezik JELEK rtakie, hogy nincs (v Genr), vagy ¬ (v Genr) nem tartoznak a Flg (k) (ahol v a szabad változó R) [2]. "
Flg kijelölés jön belőle. Folgerungsmenge - több szekvenciák, Gen abból ered. Általánosítás - általánosítás.
Nagyjából elmondható, hogy a Gödel nyilatkozat G azt mondja: „az igazság G nem lehet bizonyítani.” Ha G bizonyítható az elmélet, akkor az elmélet tartalmazna elméletek ellentmond önmagának, hanem azért, mert az elmélet összeegyeztethetetlen lenne. De ha G bizonyítható, akkor igaz, hanem azért, mert az elmélet hiányos (G nyilatkozat levezethető benne).
Ez a magyarázat a hagyományos természetes nyelv, ezért nem egészen matematikailag szigorú. Ahhoz, hogy a szigorú bizonyítás, Gödel kimutatások számozott természetes számokat. Ebben az esetben az elmélet, amely leírja a szám is tartozik, a készlet kimutatások. Kérdések a bizonyíthatóság nyilatkozatok képviselők ebben az esetben a kérdések formájában a tulajdonságok a természetes számok, amelyek kell kiszámítható, ha az elmélet teljes. Az ezeket a feltételeket, mondván Gödel azt mondja, hogy nincs szám bizonyos tulajdonságokkal. A számot az ingatlan lesz a bizonyíték a ellentmondó elmélet. Ha ilyen szám nem létezik, az elmélet ellentmond ellentétes az eredeti feltételezést. Tehát feltételezve, hogy az elmélet konzisztens (a vonatkozó feltevésből A tétel), kiderül, hogy ilyen szám nem létezik, és a Gödel állítás igaz, de ennek keretében az elmélet nem bizonyítható (ezért az elmélet hiányos). Fontos elvi megállapítás, hogy szükség van azt feltételezni, hogy az elmélet konzisztens, annak érdekében, hogy be kimutatás Gödel igaz.
A második Gödel nem-teljességi tétele
A második Gödel nem-teljességi tétele a következő:
Bármilyen hivatalos rekurzívan felsorolható (azaz ténylegesen keletkezett) T elmélet, beleértve az alapvető számtani igazság nyilatkozatok és egyes állítások formális bizonyíthatóság, ez az elmélet T tartalmaz egy nyilatkozatot arról, állaga akkor és csak akkor, ha a T elmélet ellentmondásos.
Más szóval, az összhang elég gazdag elmélet nem bizonyítható révén az elmélet. Azonban az is lehet, hogy az összhang egy bizonyos elmélet által létrehozott különböző és erősebb formális elmélet. De ott van az a kérdés, a következetesség E második elmélet, stb
Használja ezt a tételt bizonyítja, hogy az intelligens tevékenysége nem korlátozódik a számítástechnika, igyekeztünk sok. Például 1961-ben a híres logikus John Lucas (John Lucas), így egy hasonló programot. Érvei meglehetősen sérülékeny -, de tette a problémát szélesebben. Roger Penrose egy kicsit más megközelítésben meghatározott könyv teljesen „a semmiből”.
Ennek következtében az elmélet érinti a matematika filozófiája, különösen a formalizmus, amely felhasználja a formális logika határozza meg annak alapelveit. Átfogalmazhatja az első nem-teljességi tétele a következő: „lehetetlen találni egy átfogó rendszer axiómája, amely képes lenne bizonyítani az összes matematikai igazságok, és nem hazugság.” Másrészt, a szempontból szigorú előírásoknak, ezt az újratervezés nem sok értelme van, mert magában foglalja a „valódi” és „hamis” bizonyos értelemben abszolút, hanem relatív, hogy minden egyes rendszerbe.
És itt van egy felmelegít a második tétel van még nyugtalanítóbb a matematika alapjait:
Ha nem tudja bizonyítani a következetesség és a teljesség a rendszer keretein belül a saját, akkor a rendszer nem felel.
Ennek megfelelően, annak megállapítása, hogy az összhang a rendszer S kell használni nagyobb teljesítményű T. rendszert, de a T bizonyítékot nem lehet teljesen befejezett, amíg bizonyított konzisztenciáját T (sőt használata nélkül az S rendszer).
Eleinte úgy tűnt, hogy miután az összes Gödel tételének hagyott kis remény, mert akkor létrehozhat egy általános algoritmust, amely eldönti, hogy egy adott állítás megoldható-e vagy sem. Ez lehetővé teszi, hogy a matematikusok algoritmus, hogy megkerülje a megoldhatatlan problémát egyszerre együtt. Ugyanakkor negatív válasz a problémára a választás, így 1936-ban az évben, azt mutatja, hogy ez az algoritmus nem létezik.
Egyes kutatók úgy vélik, hogy egy nyilatkozatot, amely nem bizonyítható a deduktív rendszer, lehet elég kimutatható egyfajta meta nyelvet. És hogy nem lehet bizonyítani, ebben a meta-nyelvű, akkor viszont kiderült, hogy egy meta-meta-nyelv. és így tovább a végtelenségig. Segítségével ezek a rendszerek beírt metalanguages együtt axióma visszavezethetõségrõl, ami az indukciós feltevés szerint vonatkozik a teljes készlet nyelven, lehetőség van az összes tudásterületekről megkerülni a problémát a hiányos.
Azt is meg kell jegyezni, hogy a Gödel-tételek csak az elegendően erős axiómarendszer. „Strong Enough” ebben az összefüggésben azt jelenti, hogy az elmélet tartalmaz elegendő forrás biztosítása szükséges adatok igazolása az első nem-teljességi tétele. Jelentősen, hogy szükség van erre az alapvető axióma képviselő összeadás és a szorzás művelet, mint például a Robinson számtani Q. Van gyengébb axióma, hogy a teljes és következetes például aritmetikai Presburger amely bizonyítja az érvényességét az elsőrendű csak viszonylag állításokat Amellett.
axiómák rendszer tartalmazhat egy végtelen számú axiómák (például, elsőrendű Peano aritmetika), hanem az alkalmazhatóságát, hogy egy ilyen rendszer Godel tétel. Meg kell egy hatékony algoritmust, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze a helyességét. Vegyük például a készlet minden mondat az elsőrendű, ami igaz a standard modellben a természetes számok. Ez a rendszer teljes, de Godel tétel nem alkalmazható a jelen esetben, mivel nincs hatékony eljárás, amely meghatározza, hogy egy adott szekvencia axióma. Tény, hogy ez a következménye az első tétel a Gödel hiányos.
Egy másik példa az elmélet, amely nem alkalmazható az első Gödel nem-teljességi tétele lehet kialakítani a következő: meg kell rendezni az összes lehetséges igaz állítások természetes számok először a húr hossza, majd lexikografikusan. Továbbá, a rendszer axiómája úgy van felépítve - kezdetben venni a rendszer Peano axiómák, akkor ki kell választani egy jóváhagyott listát az elsőrendű nyilatkozatot, hogy nem lehet bizonyítani. Továbbá, ez a kijelentés kell feltüntetni a listán az axiómák az új rendszer. És így a végére. Végül is ez a folyamat létrehoz egy teljes, következetes és elég erős formális rendszer, amely azonban nem kell sorolni.
Gödel bizonyult technikailag gyengébb változata az elmélet. Az első bizonyíték a tételek a leírt készítmények a cikk első adott DB Rosser 1936.
Lényegében a bizonyítás az első tétel nyújt tervezési folyamat nyilatkozat p egy olyan formális rendszert, amely leírható a meta-nyelv az alábbiak szerint:
p = «Ez a kijelentés nem bizonyítható az adott formális rendszer”
Mint látható, ez csak egy modern változata a paradoxon a hazug, aki ellentétben a klasszikus formájú, akkor nem paradox.
Ha a rendszer axiómák következetes, Gödel igazolást a tétel azt mutatja, hogy p (és annak tagadása) nem bizonyítható a rendszeren belül. Ezért az állítás igaz p (ez az állítás, hogy ez bizonyíthatatlan is, és ez tényleg nem lehet bizonyítani). Ha a rendszert az axiómák # 969; -neprotivorechiva, a negáltja p is kimutathatók, és ily módon kiértékelhető p. Azokban a rendszerekben, amelyek # 969; -protivorechivy (de következetes), vagy van hasonló helyzetben, vagy ¬p állítás bizonyítható.
A hozzáadott p elfogadása axiómaként nem oldja meg a problémát, mivel ez a kiterjesztett rendszer lesz újabb nyilatkozatot Gödel. Az ilyen elméletek Peano számtani, amelyek nem építhetők felsorolható kiterjesztések úgynevezett lényegében hiányos.
Gödel nem-teljességi tétele Matematika
1.V.A. Feltételezés. Gödel tételének a hiányosság. - M. Science 1982.