Gödel nem-teljességi tétele - scisne
Minden rendszer matematikai axiómák egy bizonyos szintű komplexitás vagy ellentmondásos vagy hiányos.
1900-ban, Párizsban rendezett világkonferencián matematikusok, ami David Hilbert (David Hilbert, 1862-1943) lefektetett tézisek formájában megfogalmazott őket 23 nyomós, az ő véleménye, a megoldandó probléma tudósok teoretikusai a következő a huszadik században. A kettes számú a listában egyike azoknak az egyszerű feladatokat, a válasz nyilvánvalónak tűnik, amíg kopnesh egy kicsit mélyebbre. A modern szóhasználatban, ez volt a kérdés, hogy a matematika önellátó? A második feladat az volt, hogy Hilbert feltétlenül szükséges bizonyítani, hogy a rendszert az axiómák - alapanyagok kimutatások alapjául vett matematikai bizonyíték nélkül - tökéletes és teljes, azaz lehetővé teszi, hogy matematikailag leírni mindent. Be kellett bizonyítanunk, hogy egy ilyen rendszer axiómák, megadhatja, hogy ők is, egyrészt, konzisztens, másrészt, levonható az a következtetés tekintetében igaz vagy hamis közlések.
Vegyük például az iskolai geometria. A szokásos euklideszi sík geometria (geometria a síkban) is egyértelműen bizonyítja, hogy az az állítás, a „háromszög szögeinek összege egyenlő 180 °» igaz, és a nyilatkozat „az összege háromszög szögei egyenlő 137 °» hamis. Amikor ahhoz a ponthoz, bármely kijelentés vagy hamis euklideszi geometria, vagy igaz, és nincs harmadik. És a huszadik század elején, a matematikusok naivan úgy gondolta, hogy ugyanez a helyzet az, hogy megfigyelhető semmilyen logikailag konzisztens rendszert.
„Ha meg tudjuk bizonyítani, akkor tudjuk bizonyítani azt az állítást, és nem-A».
Más szóval, ha bizonyítani tudja, érvényességét a kijelentéssel, hogy „247 feltételezés nem bizonyítható”, ez lehet bizonyítani az állítását „a feltételezést 247 bizonyítható.” Ez azt jelenti, visszatér a szövege a második Hilbert probléma, ha a axióma rendszer teljes (azaz bármely állítás nem bizonyítható), ellentmondásos.
Az egyetlen kiutat ez a helyzet elfogadása hiányos axiómarendszer. Ez azt jelenti, hogy meg kell kiszerelni a tényt, hogy az összefüggésben bármely logikai rendszer maradunk állításokat, „típusú”, amelyekről ismert, hogy igaz vagy hamis - és meg tudjuk mondani az igazságot a csak külső kapcsolatot elfogadott axiomatikus. Ha azonban az ilyen nyilatkozatok nem állnak rendelkezésre, az azt jelenti, hogy a axiomatikus ellentmondásos, és azon belül is elkerülhetetlenül jelen készítmény, amely mind bizonyított és cáfolták.
Így a szövege az első vagy gyenge Gödel nem-teljességi tétele: „Bármely hivatalos axiómarendszere tartalmaz jogosulatlan feltételezés.” De ez nem akadályozta meg Gödel, kialakítsa és bizonyítani a második, vagy erős Gödel hiányos tételek „logikai teljesség (vagy hiányos) bármely axiómarendszer nem bizonyítható a rendszeren belül. Bizonyítani vagy cáfolni igényel további axiómák (hangosítás). "
Nyugodtabb gondolná, hogy Gödel tételek absztrakt jellegűek, és nem érintik minket, de csak megemelkedett területeken a matematikai logika, de valójában kiderült, hogy azok közvetlenül kapcsolódnak a természet az emberi agy. Angol fizikus és matematikus Penrose (Roger Penrose o. 1931) kimutatta, hogy a Gödel-tétel lehet használni igazolás fő különbség az emberi agy és a számítógép. Jelentése az ő érvelése egyszerű. A számítógép működik, szigorúan logikus, és nem tudja meghatározni, igaz vagy hamis állítás És ha ez túlmutat a axiomatikus, és az ilyen állítások szerint a tétel Gödel, óhatatlanul is. Az ember azonban szembesül egy ilyen logikusan bizonyíthatatlan és megdönthetetlen állítás A mindig meg tudja határozni annak igaz vagy hamis voltát -, a mindennapi tapasztalat. Legalábbis az emberi agy jobb, mint a számítógép, kötött tiszta logika. Az emberi agy képes megérteni a mélysége az igazság a Gödel-tétel, és a számítógép - elveszett. Következésképpen az emberi agy, de van valami egy számítógép. Ő képes döntéseket hozni, és a Turing-teszt sikeres.
Vajon Gilbert tudta, milyen messze vagyunk zavedut a kérdéseire?
Kurt Gödel
Kurt Gödel, 1906-1978
1930-ban, Kurt Gödel megmutatta két tételt, hogy az emberi jelent valamit a fordítást a matematika nyelvén: Bármely axiómarendszer elég gazdag arra használni, hogy meg tudja határozni a számtani lesz hiányos vagy ellentmondásos. Nem a teljes rendszer - ez azt jelenti, hogy a rendszer képes megfogalmazni egy nyilatkozatot, amely azt jelenti, hogy a rendszer nem lehet sem megerősíteni, sem cáfolni. De Isten, definíció szerint, a végső, minden ok oka. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a bevezetése az axiómák Isten teszi minden axiomatikus teljes. Ha van Isten, akkor minden igényt akkor sem bizonyítani vagy cáfolni, hivatkozva így vagy úgy, az Istennek. De Gödel teljes rendszer axiómái elkerülhetetlenül ellentmondásos. Azaz, ha azt hisszük, hogy Isten létezik, akkor kénytelenek vagyunk arra következtetni, hogy a természet a lehető ellentmondások. És mivel nincs ellentmondás, mert különben az egész világ összeomlott ezekből ellentmondások, hogy arra a következtetésre jutott, hogy az Isten létét nem kompatibilis a létezését a természet.
Előadások a Nyári Egyetem „kortárs matematika”, Dubna.