Lineáris függetlenség - studopediya
Minden sor az A mátrix jelöljük EI = (AI1 AI2 ..., ain) (például,
E1 = (a11 a12 ..., A1N), e2 = (A21 A22 ..., a2n), stb). Mindegyikük egy sorban mátrix, amely lehet szorozni a száma hajtogatott vagy egy másik karakterlánc általános szabályok szerint fellépés mátrixok.
El lineáris kombinációja sorokban. e2. ek az úgynevezett szorzatösszegében e sorok tetszőleges valós számok:
e = ll El + L2 e2 +. + Lk ek. ahol ll. l2. lk - tetszőleges számú (lineáris kombinációjával együtthatók).
El-line mátrixban. e2. em az úgynevezett lineárisan függ. Ha vannak számok ll. l2. lm. nem minden nulla, a lineáris kombinációja a sorok a mátrix egyenlő a nulla vonal:
LL El + L2 e2 +. + Lm em = 0, ahol a 0 = (0 0. 0).
A lineáris függését a sorok a mátrix azt jelenti, hogy legalább egy sor a mátrix egy lineáris kombinációja a többiek. Valóban, tegyük fel, hogy határozza meg a múlt lm faktor ¹ 0. Ezután elosztjuk mindkét oldalról lm. Kapunk egy expressziós az utolsó sorban, mint egy lineáris kombinációja a fennmaradó sorok:
em = (ll / lm) El + (L2 / lm) e2 +. + (Lm-1 / LM) em-1.
Ha egy lineáris kombinációja a sorok egyenlő nullával akkor és csak akkor, ha minden együttható nulla, azaz LL El + L2 e2 +. + Lm em = 0 Û lk = 0 „k, a vonal nevezzük lineárisan független.
A tétel a rangot a mátrixban. A rangsorban a mátrix megegyezik a maximális számát lineárisan független sorok vagy oszlopok, amelyen keresztül lehet lineárisan kifejezni összes többi az sorok vagy oszlopok.
Belátjuk ez a tétel. Hagyja, hogy a mátrix m x n mérete rangot r (R (A) £ perc). Következésképpen, van egy nem nulla kisebb r-ed rendű. Az ilyen kisebb lesz az úgynevezett alap. Mert határozottságot, legyen ez a minor
Sorok Ezt a kisebb is lehet nevezni az alap.
Lássuk be, hogy el sorban a mátrixban. e2. er lineárisan független. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz az egyik ilyen vonalak, például az R-i jelentése egy lineáris kombinációja a többiek: ER = ll El + L2 e2 +. + Lr-1 ER-1 = 0. Ekkor, ha elemek kivonni r-edik sor elemeit az 1. sor szorozva LL. elemei a 2. sor szorozva l2. stb Végül, az elemek (r-1) -edik sorban, szorozva a lr-1. az r-edik sorban lesz nulla. Ily módon a fenti determináns meghatározó tulajdonságok nem változnak meg, és így nullának kell lennie. Ez ellentmondás, lineáris függetlenség a sorok bizonyult.
Most bebizonyítjuk, hogy bármely (r + 1) a mátrix sorai lineárisan függ, azaz a bármilyen karaktersorozat lehet kifejezni alapján.
Kiegészítés korábban tekinthető kisebb egy másik vonal (i-edik) és a másik oszlop (j-m). Az eredmény kisebb (r + 1) -edik sorrendben, ami a definíció szerint nulla helyezés:
Nagyítás által elemei a j-edik oszlop. Itt az utolsó kofaktor Aij egybeesik az alap kisebb D ¹ 0 Þ Aij ¹ 0. Ezért tudjuk osztani mindkét oldalán az egyenlet által Aij. Ez lehetővé teszi, hogy kifejezze eleme :.
Ha rögzítjük a sor számát (i), azt találjuk, hogy minden j elemek az i-edik sorban lineáris kombinációi elemei a bázis vonalak :. azaz minden sorban a mátrix egy lineáris kombinációja alapján.