Darboux összegeket és azok tulajdonságait, elsőbbségének
Jelentős előrelépés az elmélet határozott integrálok tartozik Darboux. amelyet abból a célból figyelembe együtt a Riemann-integrál összege a felső és alsó összeget (későbbi nevén a Darboux összegek).
Nos, nézzük meg a funkciót - korlátozott, és van egy partíció ebben a szegmensben. Ez azt jelenti, hogy - korlátos minden. Ennélfogva, a második Veytrshtrassa tétel. .
Nos, hadd válassza ki az egyes specifikus megoszlási a szegmenst n alkatrészek. Most válassza ki mindegyik rész a közbenső pontok úgy, hogy a területek összege a kapott téglalap minimális. (Lásd. A feladat a terület kiszámításával egy görbe vonalú trapéz)
Construct integrál összege a következő módon: minden intervallumban bomláspontja T úgy választjuk meg, hogy megkapjuk a minimális terület téglalap, azaz a magassága volt a legalacsonyabb. A legkisebb magasság, csak így a művelet: Az integrál összeg. épül ezeket a dobozokat, nyilván ott van a legkisebb az összes kapott összegeket erre a partícióra. Ezt az összeget az úgynevezett alsó Darboux összegeket.
Hasonlóképpen, akkor lehet építeni, és a legnagyobb egy adott mennyiségű bomlástermékek: minden a particionálás időközönként T választunk egy pontot, így az érték maximális :. Ez az érték megfelel az integrál összeg. az úgynevezett felső Darboux összegeket. Most, hogy a szigorúbb definíció.
meghatározás
- felső Darboux összeg
- alsó Darboux összeg
Az összegek függ a partíció Darboux T, és nem függ a kiválasztott közbenső pontok
Felhívjuk a partíció kiterjesztése (őrlés) a partíciót, ha minden egyes pontja a partíció partíció pontot. Más szóval, bomlási vagy egybeesik a partíciót, vagy az abból származó hozzáadásával legalább egy új pontot.
Az ingatlan.
Ha a partíció - a folytatása a partíciót, majd (*), azaz során a töredezettség a szegmens alsó Darboux összege nem csökken, és a felső nem növekszik.
Ennek bizonyítására elegendő azt az esetet, amikor a partíció nyert hozzáadása csak egy pontot. Let - szegmensben. amely ponton osztja a szegmens, valamint, és - a hossza ezeket a szegmenseket.
Jelöljük. Nyilvánvaló, hogy. Az összegek és mind a kapcsolódó kifejezések, kivéve azokat, amelyek a szegmens. ezért:
Hasonlóképpen tudjuk bizonyítani az egyenlőtlenséget. Ennélfogva ha a egyenlőtlenség (bizonyult az ingatlan 1), megkapjuk a lánc egyenlőtlenségek (*).