Egyoldalú származékok pontjában
Definíció. Jobb (bal) származéka az f (x) az x = x0 a megfelelő (bal) határérték kapcsolata a megkötéssel, hogy az arány létezik.
Ha az f (x) egy származéka egy olyan helyen, x = x0. van egy egyoldalú származékok ezen a ponton. Azonban ennek az ellenkezője nem igaz. Először funkció van egy kis szünetet a ponton x0. másrészt, ha a függvény folytonos x0. lehet, hogy nem differenciálható.
Példa: f (x) = ïx ï - az X = 0, és a bal és jobb származék folyamatos ezen a ponton, azonban, nem-származék benne.
Tétel (szükséges feltétele a létezését a származék) Ha az f (x) egy származék x0. ez folyamatos ezen a ponton.
Egyértelmű, hogy ez a feltétel nem elegendő.
Alapvető differenciálás szabályai
1. A-származék állandó nulla, azaz a . ahol C - const.
2. A származék az érv egyenlő 1, azaz a .
3. A származék az algebrai összege véges számú differenciálható függvények egyenlő összeget a származékok ezeket a funkciókat, azaz a
4. A származék terméket két differenciálható függvény:
Következmény. A konstans tényező lehet venni, mint egy jel a származékos :. ahol C - const.
5. A származék a hányados két differenciálható függvény:
feltéve, hogy.
6. Származtatott egy összetett függvény, ahol adott y és u - differenciálható függvények érveik is
Tétel. A differenciálható függvény a származék nem nulla, a származékot az inverz függvény a reciproka a függvény deriváltját, azaz .
Származékai alapvető elemi függvények
A származék a logaritmikus függvény:
A származék az exponenciális függvény:
A származék az exponenciális függvény:
Származékai trigonometrikus és inverz trigonomntricheskih funkciók:
A származék egy implicit funkció kapjuk differenciáló mindkét oldalán az egyenlet, figyelembe véve y függvényében x. majd a kapott egyenlet:
Példák. Keresse származékok funkciók:
4). Nézzük át ezt a funkciót, és felfedi a zárójelbe. .
5) A képlet szerint a differenciáló egy összetett függvény van. ahol - a származékot argumentuma a szinusz függvény.
6). Ez a funkció felírható. itt
7) Ez a funkció átalakítani, a tulajdonságok használatával a logaritmus :. Aztán.
Származékai magasabb rendű
A származékot úgynevezett származéka 1. sorrendben. Azonban, a származék önmagában is olyan funkció, amely szintén származhatnak.
N-edik érdekében származék a-származék a-származék (n -1) -edik érdekében.
Jelölés: stb
A mechanikai jelentését a 2. derivált: a második deriváltja az út időben egyenlő a gyorsulás a pont abban a pillanatban.