Az integráció a racionális függvények (racionális függvények)

Elementary (egyszerű) racionális frakciók úgynevezett racionális frakciók négy típusba sorolhatók:

Comments (kívánatos teljesebb megértése a szöveget): Show \ elrejtése

Miért van szükség a feltétellel $ p ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Például, a kifejezés a $ x ^ 2 + 5x + $ 10 megkapjuk: $ p ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot $ 10 = -15. Mivel $ p ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Mellesleg, ezt a vizsgálatot nem szükséges, hogy az együttható a $ x ^ 2 $ egyenlő 1. Például, egy $ 5x ^ 2 + 7x-3 = 0 megkapjuk $: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = $ 109. Mivel $ D> 0 $, majd az expressziós $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ felbontható a tényezők.

Példák a racionális frakciók (szabályos és szabálytalan), valamint példák a bomlás elemi racionális frakció itt található. Itt vagyunk érdekeltek, kérdés az integráció. Kezdjük az integráció elemi frakciók. Így mind a négy típusú elemi frakciók fentiek könnyen integrálható a következő képlet segítségével alább jelzett. Emlékezzünk, hogy amikor integráló frakciók típusú (2) és (4) feltételezzük, hogy $ n = 2,3,4, \ ldots $. Formulák (3) és (4) előírja, hogy a feltétel $ p ^ 2-4q <0$.

$, Miután megkapta Interan kettészakadt. Az első fogják kiszámítani beiktatásával egy differenciál jel, és a második lesz a formában $ I_n = \ int \ frac $. Ez integrál veszünk egy rekurzív sorozat

Számítása az integrál szétszerelt példa №7 (lásd. A harmadik rész).

Reakcióvázlat kiszámításakor integrálok racionális függvények (racionális frakciók):

1. Ha az integrandust elemi frakciót ezután alkalmazni képletek (1) - (4).
2. Ha az integrandus frakció nem elemi, akkor tegyük be egy összeget elemi frakciók, majd integrált segítségével képletek (1) - (4).

A fenti integráció algoritmus racionális frakciók, jelentős előnye van - ez univerzális. Ie Ezt az algoritmust, akkor integrálni bármilyen racionális szám. Éppen ezért szinte az összes változás a változók határozatlan integrálok (Euler-cserét, Csebisev, univerzális trigonometrikus helyettesítés) készülnek az elvárással, hogy a csere után ezek beszerzése racionális szám Interal. És azt, hogy alkalmazza az algoritmust. Közvetlen alkalmazás ezen algoritmus Nézzük a példát, miután egy kis megjegyzés.

Képletek (1) - (4) feltételezik, hogy a együtthatója $ x $ (a képletekben (1) és (2)) és az együttható az $ x ^ 2 $ (képletekben (3) és (4)) egyenlő egységét. De mi van, ha ez a tényező nem az egységet? Ebben az esetben egyszerűen hozza a zárójelben: $ \ frac = \ frac \ right)> = \ fracx + \ frac >> $.

Mellesleg, ez nem csak az alap frakciók. Például, ha azt szeretnénk, hogy bővítse a frakció $ \ frac $, akkor is képviselteti formájában:

Ezekben a további példákban fogok említeni az esetben, ha az együttható vezető kifejezés polinom a nevező nem egyenlő $ 1 $. De minden alkalommal, ez az esemény mellett engedélyezhető a standard rendszer: távolítsa el a „kellemetlen” tényezőt ki a konzolok és mozgassa a számlálót (vagy akár kivinni az integrál jel).

Térjünk át a példákat. Első példa - képzés használata képletek integráló elemi frakciókat (még használata nélkül képletű №4, úgy kell tekinteni külön-külön).

1) Ahhoz, hogy megtalálja a szerves $ \ int \ $ frac akkor azonnal alkalmazni az (1).

Elvileg ez az integrál könnyű megszerezni nélkül mechanikai alkalmazása (1) képletű. Ha folyamatosan ki $ 7 $ az integrál jel, és vegye figyelembe, hogy a $ dx = d (x + 9) $, megkapjuk:

Részletes információkért lásd a téma javaslom célzás „Integration helyettesítésével (így differenciális jel).” Ott lesz részletesen, hogy ezek integrálok megoldódnak. Mellesleg, a (1) képlet szerinti bizonyítása azonos átalakulások alkalmaztak ezen a ponton a megoldás a „kézi”.

2) Ismét, kétféle módon: kezelhető kész képlet vagy nélküle. Ha alkalmazza a (2) képlet. meg kell jegyezni, hogy az együttható $ x $ (4. számú) kell majd távolítani. Ebből a célból a négy bíró egyszerűen kiveszik a zárójelben:

Most volt a sor, és alkalmazása képletű (2):

Lehetőség van, hogy nem használata nélkül (2) képletű. És még anélkül, hogy állandó $ 4 $ a fogszabályozó. Ha figyelembe vesszük, hogy a $ dx = \ fracd (4x + 19) $, megkapjuk:

3) Meg kell integrálni a frakció $ \ frac $. Ez a frakció a következő szerkezeti $ \ $ frac, ahol a $ M = 4 $, $ N = 7 $, $ p = 10 $, $ q = 34 $. Ahhoz azonban, hogy győződjön meg arról, hogy valóban elemi frakció a harmadik típus, akkor ellenőriznie kell a feltétele $ p ^ 2-4q <0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 <0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\fracdx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

Mi megoldjuk ezt ugyanaz a példa, de használata nélkül kész formulák. Próbáljuk azonosítani a számláló származék a nevező. Mit jelent ez? Tudjuk, hogy a $ (x ^ 2 + 10x + 34) „= 2x + 10 $. Ez a kifejezés 2x + $ 10 $ vagyunk elkülöníteni a számlálót. Eddig a számlálóban csak $ 4x + $ 7, de nem sokáig. Alkalmazható a számlálóban ez az átalakulás:

$$ 4x + 7 = 2 \ cdot 2x + 7 = 2 \ cdot (2x + 10-10) + 7 = 2 \ cdot (2x + 10) -2 \ cdot 10 + 7 = 2 \ cdot (2x + 10) -13. $$

Most, a számlálóban a kifejezés megjelent szükséges $ 2x + 10 $. És a szerves átírható az alábbi formában:

Osztjuk az integrandus két frakcióra. Nos, és ennek megfelelően az integrál maga is „split két”:

Beszéljünk először körülbelül az első integrál, azaz a körülbelül $ \ int \ frac $. Mivel $ d (x ^ 2 + 10x + 34) = (x ^ 2 + 10x + 34) „dx = (2x + 10) dx $, az integrandus a számlálóban a frakció a differenciál a nevező. Röviden, kifejezés helyett $ (2x + 10), írunk dx $ $ d (x ^ 2 + 10x + 34) $.

Most néhány szót a második integrál. Különbséget teszünk a nevezőben a tökéletes négyzet: $ x ^ 2 + 10x + 34 = (x + 5) ^ 2 + $ 9. Továbbá, figyelembe vesszük $ dx = d (x + 5) $. Most már korábban kapott összeget integrálok átírható egy kissé más formában:

Ha az első szerves hogy a helyettesítés $ u = x ^ 2 + 10x + 34 $, akkor valósul meg $ \ int \ frac $ és vállalja egy egyszerű alkalmazás, a második képlet határozatlan integrálok az asztalra. Ami a második integrál, akkor lehetséges a csere $ u = x + 5 $, ami után formájában fog $ \ int \ frac $. Ez tiszta vizet tizenegyedik képletű a táblázatból a határozatlan integrálok. Tehát visszatérve az összeg az integrálok, van:

Megvan ugyanazt a választ, és hogy a kérelem az (3). hogy szigorúan véve, ez nem meglepő. Általában, a képlet (3) bizonyítja az a alkalmazott módszerekkel koi találunk integrál. Úgy vélem, hogy egy alapos olvasó aztán egy kérdés, ezért fogalmazza meg:

Ha az integrálási $ \ int \ frac $ alkalmazni a második képlet határozatlan integrálok az asztalra. akkor kap a következő:

Miért nem volt döntési modul?

A válasz arra a kérdésre, №1

Kérdés elég logikus. Modul hiányzik csak azért, mert a kifejezés a $ x ^ 2 + 10x + 34 $ minden $ x \ in R $ jelentése nullánál nagyobb. Ez meglehetősen könnyű megmutatni több szempontból is. Például, mivel a $ x ^ 2 + 10x + 34 = (x + 5) ^ 2 + 9 $, és $ (X + 5) ^ 2 ≥ 0 $, akkor a $ (X + 5) ^ 2 + 9> 0 $ . Ön döntheti el, más módon, anélkül, hogy a kiosztás egy tökéletes négyzet. Mivel a $ 10 ^ 2-4 \ cdot 34 = -16 <0$, то $x^2+10x+34> 0 $ minden $ x \ in R $ (kivéve, ha ez a logikai láncot meglepő, azt tanácsolom, hogy egy grafikus megoldási módja másodfokú egyenlőtlenségek). Mindenesetre, mivel a $ x ^ 2 + 10x + 34> 0 $, akkor a $ | x ^ 2 + 10x + 34 | = x ^ 2 + 10x + 34 $, azaz, ahelyett, hogy a modul használható a hagyományos fogszabályozó.

Összes példány példák №1 megoldani csak levelet a válasz továbbra is.

Találja meg az integrál $ \ int \ fracdx $.

Első pillantásra az integrandus frakció $ \ frac $ nagyon hasonlít egy elemi frakció a harmadik típusú, azaz a $ \ frac $. Úgy tűnik, hogy edinctvennoe különbség - ez az arány $ 3 $ és $ x ^ 2 $, de ez az arány, és távolítsa el a rövid életű (a zárójelben rajta). Azonban, ez a látszólagos hasonlóság. Egy töredéke $ \ frac $ kötelező feltétele $ p ^ 2-4q <0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Megvan a együtthatója $ x ^ 2 $ nem egyenlő egységét, ezért annak állapotát $ p ^ 2-4q <0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D> 0 $, így a kifejezés a $ 3x ^ 2-5x-2 $ lehessen venni. Ez azt jelenti, hogy a frakció $ \ frac $ elementanoy nem egy töredéke a harmadik típusú, és kérte a szerves $ \ int \ fracdx $ (3) képlet nem.

Nos, ha egy adott racionális függvény nem elemi, akkor meg kell írni az összege elemi frakciók majd integrálni. Röviden, érdemes kihasználni a rendszer integráció racionális frakciók. Hogyan bomlanak racionális frakció elemi írt részletesen. Kezdjük azzal, hogy a faktor nevező:

Podynteralnuyu frakció képviselt a következő formában:

Most bontsa a frakció $ \ fracx + 4> \ right) (x-2)> $ elemi:

Ahhoz, hogy megtalálja az együtthatók $ A $ és $ B $ Két szabványos módon: Eljárás meghatározatlan együtthatók és a módszer helyett konkrét értékeket. Mi módszer alkalmazható a helyettesítési saját értékek helyett $ x = 2 $, akkor $ x = - \ frac $:

Mivel az együtthatók talált, már csak azt kell írni a végső bomlás:

Elvileg lehetséges, hogy elhagyja ezt a bejegyzést, de én inkább egy pontosabb változata:

Visszatérve az eredeti integrál, mi helyettesítheti bele ez a bővülés. Ezután fogjuk osztani két szerves, és az (1) képlet alkalmazható minden. Inkább az állandó azonnal kikerülnek az integrál jel:

Meg kell integrálni a frakció $ \ frac $. A számláló egy polinom másodfokú, a nevező - a polinom harmadik foka. Mivel a mértéke a számláló polinom foka kisebb, mint a nevezőben, azaz $ 2 <3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

Csak akkor törik az adott szerves három, és minden alkalmazandó (1). Inkább az állandó azonnal kikerülnek az integrál jel:

Folyamatos elemzése példát ebben a témában található a második részben.

Kapcsolódó cikkek

• Integration frakciók

• Integrálása racionális frakciók

• Integrálása a legegyszerűbb racionális frakciók