Integration frakciók
Bezout tétel
Amikor elosztjuk a polinom f (x) = A0x n + A1x n -1 + # 133; + Egy a különbség X - egy maradékot kapunk, megegyezik az f (a).
Bizonyítás. Amikor elosztjuk f (x) x - polinom f1 (x) lesz a saját, a mértéke, amely az egyik kisebb, mint a mértéke a polinom f (x) és egy maradékot kapunk, amely egy állandó szám: f (x) = (X - a) · f1 (x) + R. hagyta, hogy a bal és jobb oldalán az egyenlet x → a. Kapunk R = f (a).
Ha x = a - gyökér a polinom, akkor f (a) = 0, és a polinom f (x) osztható különbség x - és a polinom képviseli, mint az f (x) = (X - a) · f1 (x), ahol a f1 (x) - polinom.
Algebra alaptétele
Minden egész racionális függvény f (x) legalább egy gyökér, valós vagy komplex.
A tétel a bomlási egy polinom a lineáris tényezők
Több gyökerei a polinom
Ha a bővítés a polinom n - ed-fokú lineáris faktorok f (x) = A0 + (x - A1) + (x - a2) · # 133; + (x - AN), különböző lineáris tényező egyenlő lesz, azokat kombinálhatjuk majd a terjeszkedés a polinom faktoring fog kinézni. Ebben az esetben, k1 + k2 + # 133; + Km = n. Ebben az esetben, a gyökér a1 nevezzük gyökere sokaságának k1. a2 hívják a gyökér gyökere sokfélesége k2. és így tovább.
Ha egy polinom van gyökere sokfélesége k. akkor feltételezzük, hogy a polinom van k azonos gyökerei. Minden polinomiális n - edik MTA pontosan n gyökerei (valós vagy komplex).
Bomlási polinom faktoring esetében a komplex gyökerek
Ha a polinom f (x) valós együtthatók egy komplex gyökér a + i · b. van egy gyökér és konjugálna - i · b. A tágulási az f (x) = A0 + (x - A1) + (x - a2) · # 133; · (x - AN) összetett gyökereit párokba párosodás pár. Szorzása lineáris faktorok megfelelő, párosított konjugátum gyökerek kapjunk trinomiális másodfokú valós együtthatók [X - (a + ib)] · [x + (a + ib)] = [(x - a) - ib] · [(X - a) + ib] = (x - a) 2 + b 2 = x 2 - 2 ax + a 2 + b 2 = x 2 + px + q, ahol p = - 2 · a. q = a ² + b ² - valós számok. Ha a szám a + i · b gyöke sokaságának k. A konjugátum a - i · b legyen a gyökere ugyanaz sokfélesége k. Így együtt a lineáris tényezőt x (a + i · b) a hasító azonos számú lineáris tényező az x (a - i · b).
Tehát egy polinom valós együtthatók bomlik alkotnak szorzók Így k1 + k2 + # 133; + 2S1 + # 133; + 2SM = n.
Megfelelő frakciókat bontás egyszerű frakciók valódi gyökerek
Vegyünk néhány - néhány faktor (x - a) multiplicitás k. tartozik bomlása a nevező Qn (x) = (X - a) K · Q1 (X) frakció, (n> m), ahol Q1 (X) már (x - a) nem osztható. Akkor az adott megfelelő frakció összegeként kifejezve megfelelő frakciók. Ennek bizonyítására elég kiválasztani a számot az A és a polinom P1 (x) úgy, hogy a személyazonosság Pm (x) - Ak · Q1 (x) = (x - a) · P1 (x). Ebben az esetben, a bal oldali az egyenlet egy gyökér egyenlő x = a, és ezért. A fennmaradó izolátum egyszerű frakció, stb, amíg a tényező (x - a) .. Ne eltűnnek a nevező bomlás. Így a jelen esetben, a faktor (X - a) k felelős csoport k egyszerű frakciók. Ugyanezt az érvelést alkalmazzák felváltva vannak a többi lineáris tényező, míg a nevező marad lineáris tényezők és a másodfokú tényezők marad a bővülés.
Bomlása megfelelő frakciók a legegyszerűbb esetében másodfokú tényező a nevezőben
Hagyja, hogy a helyes nevező a racionális szám van egy komplex gyökér. Mivel a konjugátum a gyökér is a gyökér a nevező, a nevező fejezhető ki Q (x) = (x 2 + px + q) m · Q1 (X), ahol Q1 (x) nem osztható x 2 + p · x + q. Ezután a megfelelő frakció összegeként kifejezve megfelelő frakciók. Ez elegendő ahhoz, hogy válassza ki a M és N egy polinom R1 (x) úgy, hogy bekövetkezett identity P (x) - (Mx + N) · Q1 (X) = (x 2 + px + q) m · P1 (x). Ebből a célból szükség van és elégséges, hogy az egyenlet P (x) - (M · x + N) · Q1 (x) = 0 a gyökerek volt ± i · b. és, hogy a polinom x 2 + p · x + q. Ezért a P (a + ib) - (F · (a + ib) + N) · Q1 (a + ib) = 0 vagy. Innen vagy. Ezeken értékeit M és N p polinom (x) - (M · x + N) · Q1 (X) gyökerei egy ± i · b, és teljesen osztva x - (a + i · b) és X - ( egy - i · b), és így a polinom x 2 + p · x + q. Degree polinom R1 (X) kisebb, mint a nevező, ezért lehetséges, hogy továbbra is a további terjeszkedés. Alkalmazása a megfelelő racionális frakció példány 6. és 7. E fejezet, lehetséges kiosztani egymás valamennyi részleges megfelelő frakciókat minden gyökerei a nevező. Így, ha a nevező megfelelő racionális frakció figyelembe lehessen venni, a frakció lehet képviselt formájában együtthatók A1. A2, # 133; B1. B2. ... meg lehet határozni a következő szempontokat. Írásbeli egyenlőség azonosság. Hoz frakciókat egy közös nevező, megkapjuk azonos polinomok a számlálók a jobb és bal oldalon. Egyenlővé együtthatók az azonos hatáskörét x. Kapunk egy egyenletrendszert meghatározására az ismeretlen együtthatók A1. A2, # 133;, B1. B2. # 133;. Ez a módszer a megállapítás a koefficiensek nevezik eljárás meghatározatlan együtthatók.
Példa integráció racionális frakciót
(Gyökerek a nevező tényleges és különálló)
Keresse meg a határozatlan integrál. Határozat. Integrandus bővíteni a legegyszerűbb racionális frakciók. Használata megállapítások bizonyítják fenti tétel, meg értékeit meghatározatlan együtthatók ,. Így az integrandus az ábrázolása egyszerű racionális függvények fog kinézni. és végül
Példa integráció racionális frakciót
(Nevező gyökerek valós és többszörösei)
Keresse meg a határozatlan integrál. R e w n e. INTEGRAND felbontható be egyszerűbb. Ha a frakciók a jobb oldalon, elvezethet a közös nevező, a nevezők a jobb és a bal oldalon azonos, akkor, ugyanaz lesz, és a számlálók: x 3 + 6x 2 + 13x + 6 = A · (x + 2) 3 + B · (x - 2) + C · (x - 2) · (x + 2) + D · (x - 2) · (x + 2) 2. Két polinomok megegyezik, ha, és csak akkor, ha azok együtthatók mint hatáskörét x ugyanaz lesz. Egyenlővé együtthatók az azonos hatáskörét x. egyenletrendszert A a és b együtthatók megtalálhatók megoldása nélkül a rendszer :. A rendszer egyenletek több D = 0, C = 0. Tehát, az integrandust expanziós ebben az esetben.
Egy példa az integráció a racionális frakciók (nem integrált többszörös gyökerek)
Keresse meg a határozatlan integrál. Határozat. Integrandus bővíteni a legegyszerűbb. Ha a frakciók a jobb oldalon, elvezethet a közös nevező, a nevezők a jobb és a bal oldalon azonos, akkor, ugyanaz lesz, és a számlálók: 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = (Ax + B) · (X 2 + 1) + (Cx + D) · (x 2 + x + 1). Eltávolítjuk a zárójelben a jobb oldalon az egyenlet és a csoport értékeit hatásköre: 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2 = (A + C) · x 3 + (B + C + D) x 2 + (A + C + D) X + (B + D). Két polinom egyenlő akkor, ha azok együtthatók erőkkel x ugyanaz lesz. Egyenlővé együtthatók az azonos hatáskörét x. kapjunk egyenletrendszer A megoldás ennek a rendszernek az A = B = C = D = 1. Tehát az integrandus egy bomlási faj. Végül ebben az esetben meg kell
Alkalmazás csomag MAPLE az integráció racionális frakciók
Tesztelje tudását
- Mint racionális szám van szétbontva elemi frakciók?
- Az úgynevezett eljárás meghatározatlan együtthatók?
- Mely funkciók vezet az integráció a racionális frakciók?
- Mondjon példát elemi függvények, primitívek, amelynek nem lehet kifejezni elemi funkcióit.