Változik a funkció - a
jellemző számérték függvények egy valós társított változót annak differenciál tulajdonságai.
1) Tegyük fel, hogy - a funkció egy valós x változó, meghatározott intervallumon; a változása a legkisebb fels® összegeinek formájában
ahol - tetszőleges pont rendszer. Ez a meghatározás meghívott Karl Jorda minősítésű [1]. Ha. akkor azt mondjuk, hogy egy függvény korlátozott (véges) variáció időközzel. és az osztály minden ilyen feladatok jelöli, vagy egyszerűen csak a V. A funkciója osztály, ha, és csak akkor, ha leírható formájában, ahol - nő (csökken) a funkció (Jordán bomlása funkciók korlátos variáció). Összeadás, és a termék a két funkció is függvénye az osztály. Ez igaz a két magánszemély tagja funkciókat. ha a nevező a modul meghalad egy pozitív konstans intervallumban. Minden osztályban van korlátozva a funkciót, és nem lehet több, mint egy megszámlálható halmaz diszkontinuitás pont, amelyek mind az 1. fajta.
Mindezek a tulajdonságok funkciói az osztály által meghatározott Jordan K [1] (lásd. Továbbá a [2], p. 234-38).
Osztályú funkciók differenciálható szinte mindenhol, és nekik van a bomlás
ahol - abszolút folytonos, - egyedülálló funkció, és - ugrás funkció (Lebesgue bomlás fuiktsii korlátos variáció). Ez bomlás egyedülálló, ha (cm. [3] és [2], p. 290).
Eredetileg az osztály által bevezetett Jordan K. kapcsolatban általánosítása Dirichlet teszt konvergenciáját Fourier sor szakaszonként monoton függvény. K. Zhor-dan bebizonyította, hogy a Fourier-sor -periodich. Osztály függvényei konvergálnak minden pontján a valós tengely. Később azonban a korlátos változású függvény széles körben használják a különböző területeket a matematika, különösen a Stieltjes integrál elmélet.
Osztályok néha. amelyek meghatározása a következő. Hagyja pozitív monoton növekvő függvénye. Jelöljük szuprémumának összegeket az űrlap
ahol - tetszőleges partíció az intervallum. A mennyiség is nevezik. Változás az F-funkciók egy intervallumot. Ha azt mondjuk, hogy a függvény korlátozott F - variáció a szegmensben. egy osztály az ilyen funkciók, vagy egyszerűen jelöljük (lásd a (4], oldal 287) kapunk osztály C. Jordan, míg -... Vp osztályok Wiener [5] meghatározása V. osztályú P [a, b]. L. Jung javasolt [6]. Ha
és amikor ezek a beruházások szigorú.
Irod [1] S. Jordan "S. r. Acad. Sci.", 1881. t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Natanson I. P. elmélet a funkciók egy valós változó, 2nd ed. M. 1957 [Z] A. Lebesgue integráció és a keresési primitív funkciók (fordítás francia ..), M. L. 1934; [4] Bari N. K. trigonometrikus sor, Moszkva 1961; [5] Wiener N. "Massachusetts J. Math, és Phys.", 1924, v. 3, p. 72-94; G6] Young L. S. "C. r. Acad. Sci.", 1937, t. 204, № 7, p. 470 - 72. BI Golubov.
2) függvényében számos változó, vannak különböző definíciók szórás (variációs Arzela, Vitali variáció Pierpont variáció Tonelli sík variáció Frenchet variáció Hardp variáció). Azt is gyümölcsözőnek bizonyult következő definíció (lásd [1].), Használatán alapuló Banach mutatószám,. Hagyja, hogy a valós értékű függvény meghatározott és mérhető a Lebesgue n-dimenziós kocka. A változás a sorrendben a funkciókat egy kocka hívott. szám
ahol jelöli a j beállított variáció. és az integrál értelmezni Lebesgue. Oto meghatározás lehetővé teszi, hogy mozog a funkciók több változó, sok tulajdonságait Korlátos változású függvények egy változó. Ex.:
b) Ha egy sorozat funkciók konvergál egy lineáris alapon. az
c) Ha a függvény folytonos, és minden változatban végesek szinte mindenhol van egy teljes eltérés.
g) Ha a függvény abszolút folytonos. az
e) Ha a függvény folytonos a kocka egy oldalon. Ez véges változása minden megrendelést a kocka, és lehet folytatni rendszeresen időszak minden érv, hogy az összes n-dimenziós térben. akkor a Fourier-sor konvergál egyenletesen azt Pringsheim.
Elégséges feltételei a végesség az eltérések: ha a funkció be van kapcsolva a kocka folyamatos származékai az összes megbízás bezárólag én a változása érdekében kkonechna. A tétel értelmében véglegessé, hogy a feltételek a simaság nem lehet javítani semmilyen Tiszteletreméltó egy k.
Irod [1] Vitushkin A. G. Többdimenziós variációk, M. 1955 A. G. Vitushkin.
Encyclopaedia of Mathematics. - M. szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.