Számos képződött mértani
Ennek szükséges feltétele a konvergencia a sorozat.
Tétel a szükséges feltétele a konvergencia a sorozat.
Ha a sorozat konvergál, a határ a szekvencia közös tagjai a sorozat egyenlő nullával:
Egy másik készítményben. A sorozat konvergál, szükséges (de nem elégséges!) Hogy a határ a szekvencia gyakori kifejezések a sorozat nulla.
Megjegyzés. Néha az egyszerűség kedvéért a „szekvencia” csökkenteni, és azt mondják, hogy „általános kifejezés határ nulla.” Ugyanaz a sorozat részösszegek (a „határ a részösszegként:”).
Az igazolást a tétel. Mi képviseli a általános kifejezés az űrlap (1.10):
By feltételezés, hogy a sorozat konvergál, tehát nyilvánvaló, hogy. mert n és n -1 hajlamosak végtelenig egyszerre. Mi található a határ a sorozat számos közös tagja van:
Megjegyzés. Az ellenkezője nem igaz. Számos kielégíti (1.11), nem feltétlenül konvergál. Ezért, az állapot vagy tünet (1.11) szükséges, de nem elégséges feltétele a konvergencia a sorozat.
1. példa harmonikus szám. Tekintsük a sorozat
Ez a sorozat az úgynevezett harmonikus, mert minden egyes tagja, kezdve a második, a harmonikus közepe a szomszédos tagállamok:
Az általános kifejezés a harmonikus sorozat kielégíti a szükséges feltétele a konvergencia a sorozat (1,11) (ris.1.3.1). Azonban, a továbbiakban lesz látható (révén Cauchy szerves jellemzője), hogy ez a szám eltér, azaz a összegezve a végtelen. A ris.1.3.2 azt mutatja, hogy a részösszegek növeli a végtelenségig növekvő számban.
Következmény. A szükséges feltételek a konvergencia a sorozat következik elegendő vizsgálat a divergencia, ha van, vagy nem létezik, akkor a sorozat eltér.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz (Vagy nem létezik), de a sorozat konvergál. Szerint azonban a tétel a konvergencia szükséges állapotban határérték általános kifejezés nullának kell lennie :. Ellentmondás.
2. példa Teszt a konvergencia sorozat általános kifejezés.
Ez a sorozat a formája:
Mi található a határ a taglétszámát:
. A vizsgálat szerint a sorozat eltér.
Számos képződött mértani
Tekintsük a sorozat álló kifejezések egy mértani. Emlékezzünk, hogy a mértani hívott szám szekvencia, minden egyes tagja, amely, kezdve a második, az egyenlő az előző szorozva ugyanazt a számot nem egyenlő nullával, és az úgynevezett a nevező e progresszió. Mértani a következő:
egy sor alkotja tagjai:
Ezt a számot nevezzük a geometriai egymás mellett, de néha a rövidség kedvéért azt nevezzük mértani. A név „geometriai” progresszió miatt kapott minden egyes tagja, kezdve a második, egyenlő a mértani átlaga a szomszédos tagállamokban:
Tétel. A sorozat, amely a tagjai egy mértani
divergens és konvergens. Továbbá, ha az összeg a sorozat
Bizonyítás. Teljes időtartamára a sorozat, valamint az általános kifejezés egy mértani a következő :.
1) Ha. akkor. mert ebben az esetben - a végtelenül nagy értéket.
2) Amikor egy szám másképp viselkedik mivel szerez különféle.
. mert határérték állandó nagyon állandó. mert a hipotézist. általános kifejezés a sorozat nem közelíti a nullát.
amikor; határérték nem létezik.
Tehát, ha a szükséges feltétele számos konvergencia:
Következésképpen, a sorozat (1,13) divergál.
3) Ha. A haladás végtelenül csökken. Az iskola Persze tudjuk, hogy az n-edik részösszegként sorozat (1,13) felírható:
Találunk az összeg a sorozat. Mivel a (infinitezimális), majd a
Ily módon, amikor a sorozat (1,13) konvergál, és olyan összegben,
Ez az összeg a végtelen mértani.
Keressük a határ sorozata konvergens sorozat összege S címen. A meghatározása az összeg sorozat legyen:
Ezután (1,24) a következőképpen:
Azt találtuk, hogy a maradékot egy konvergens sorozat egy végtelenül. azaz ha a szám a leadott tagjai a sorozat tart végtelenbe. Ez nyilvánvaló a számok az 1.5.1 és 1.5.2.
Megjegyzés. Tétel körülbelül csepegés néhány szempontjából a sorozat a következőképpen foglalhatók össze: annak biztosítása érdekében, hogy a sorozat konvergens, ha, és csak akkor, ha a fennmaradó nullához.
§1.6. Znakopolozhitelnye soraiban
Tekintsük a sorozat nem negatív értelemben
Ezek a sorozatok fogják hívni znakopolozhitelnymi. Tekintsünk egy szekvenciát részleges összegek znakopolozhitelnogo a (1,26). A viselkedést a szekvencia különösen egyszerű: növeli monoton növekvő n. azaz . (A nem-negatív szám adunk minden ezt követő részleges összege).
Szerint a Weierstrass-tétel, minden korlátos monoton szekvencia konvergál (látni. I szemeszter I év). Ennek alapján megfogalmazzuk általános követelményt a konvergencia-sorozat pozitív értelemben.
Tétel (megosztott znakopolozhitelnyh sorozat konvergencia kritérium). Ahhoz znakopolozhitelny sorozat konvergál, szükséges, és elégséges, hogy a szekvencia a részleges összegek korlátozott volt.
Emlékeztetünk meghatározásának korlátozott szekvencia: A szekvencia korlátos, ha van egy M> 0, hogy (ris.1.6.1). Mert znakopolozhitelnyh sorozat. és meg tudjuk beszélni a fenti korlátozások miatt korlátozott nulla alá.
Bizonyítás. 1) szüksége van. Tegyük fel, hogy a sorozat (1,26) konvergál Þ szekvenciájának részleges összegek van egy határ, azaz konvergál. A tétel a korlátozott konvergens sorozat bármely konvergens sorozat korlátos Þ korlátozott.
2) Az elégséges. Tegyük fel, hogy a szekvencia a részleges összegű (1,26) korlátozott.
mert . azaz monoton. A Weierstrass-tétel monoton határolt szekvenciák konvergál Þ a sorozat (1,26).
Egyértelmű, hogy az a korlátozatlan tumornövekedés szekvenciája részleges összegek divergál.
Összesen znakopolozhitelnyh sorozat konvergencia kritérium lehetővé teszi, hogy létre elégséges feltétele az a konvergencia-sorozat pozitív értelemben. Ezek a jelek:
1) közvetlen összehasonlítása tesztsorozat;
2) d'Alembert-féle teszt;
3) aláírja Cauchy.
Az első jele az összehasonlító
Tétel az első jele összehasonlítást.
két sorban a nem negatív értelemben Tegyük fel, hogy:
és, kezdve néhány n³N az egyenlőtlenség
1) a konvergencia (1.28), hogy a sorozat (1,27);
2) divergenciáját (1,27) következik divergenciáját (1,28).
Más szóval, ha egy nagyobb konvergens sorozat, akkor konvergál, és kisebb, ha a szórás kisebb számot, majd a nagyobb és még inkább eltér egymástól (ris.1.7.1).
Bizonyítás. 1) Tegyük fel, hogy - a részleges összegeket a sorozat (1,27) és a (1,28), ill. mert . -tól (1.29), hogy (az összeg kisebb számú összege kisebb, mint a nagy számok). Ha a sorozat konvergál, akkor a szekvenciát való részleges összegek korlátos (fent), de aztán korlátozott, és a szekvencia a részleges összegeket a sorozat, mint a tagok száma kevesebb; Þ szerint az általános kritériumot a konvergencia a sorozat konvergál.
2) Tegyük fel most, hogy a sorozat divergens. Tételezzük fel, hogy ebben az esetben a sorozat konvergál. De aztán, ha csak bizonyult kisebb számot is meg kell közelíteni. Ellentmondás. Következésképpen a sorozat eltér.
összehasonlító tesztet használják, hogy tanulmányozza a konvergencia pozitív sorozat, ha tudjuk, hogy a konvergencia egy másik sorozatban, összehasonlításra alkalmas a beállított másikra. A legtöbb esetben, összehasonlítva a geometriai progresszió (konvergál és széttartóvá) és generalizált harmonikus sor. amely konvergál egy> 1, és eltér egy £ 1 (bizonyítékot később ismertetjük).
Vessük össze ezt a számot egy végtelen mértani:
Mivel kezdve N = 3 Þ . Ezután a sorozat konvergál.
Vessük össze ezt a számot a divergens harmonikus sor.
Mivel kezdve N = 2 Þ . Ezután a sorozat eltér.
Megjegyzés. Ez a szám egy általános harmonikus sor ,.