Sajátvektorok és sajátértékek a lineáris operátor
Sajátvektorok és sajátértékek a lineáris operátor
A legegyszerűbb lineáris operátor - vektor szorzás számának \ (\ lambda \). Ez az állítás egyszerűen húzódik minden vektorok \ (\ lambda \) újra. A mátrix formában bármilyen alapon - \ (diag (\ lambda \ lambda \ lambda) \.). Fix a meghatározottsága alapján \ (\\) egy vektor térben \ (\ mathit \), és megvizsgálja a lineáris operátor átlós mátrix formában ezen az alapon, \ (\ alpha = diag (\ lambda _1, \ lambda _2. \ Lambda _N) \ ). Ez az állítás, definíciója szerint a mátrix formában, nyúlik \ (e_k \) a \ (\ lambda _K \) szer, azaz \ (Ae_k = \ lambda _ke_k \) minden \ (k = 1,2. N \). Diagonális mátrix kényelmes dolgozni, mert egyszerűen csak olyan funkcionális kalkulus: minden funkció \ (f (x) \) nem tud \ (f (diag (\ lambda _1 \ lambda _2 \ lambda _n)) = diag (f (. \ lambda _1), f (\ lambda _2). f (\ lambda _N)) \). Így egy természetes kérdés: ha van egy lineáris operátor \ (A \), lehetséges, hogy válasszon egy alapot a vektortér a mátrix formában \ (A \) operátort átlós ezen az alapon? Ez a kérdés arra a megállapításra vezet a sajátvektor és sajátérték.
Definíció. Tegyük fel, hogy a lineáris operátor \ (A \) van egy nem nulla vektor \ (u \) és a szám \ (\ lambda \) úgy, hogy \ [Au = \ lambda \ cdot u. \ Quad \ quad (59) \] Ezután a vektort \ (u \) nevezzük sajátvektor \ (A \), és a szám a \ (\ lambda \) - a megfelelő sajátérték \ (A \). A készlet minden sajátértéke az úgynevezett spektrumát lineáris operátor \ (A \).
Van egy természetes probléma. megtalálni egy adott lineáris operátor annak sajátértékeit és a megfelelő sajátvektor. Ez a probléma az úgynevezett probléma a spektrum lineáris operátor.
Az egyenlet a sajátértékek
Fix a meghatározottsága alapján vektortér, azaz azt feltételezzük, hogy be van állítva egyszer és mindenkorra. Aztán, ahogy a fentiekben tárgyaltuk, a lineáris operátorok lehet csökkenteni a figyelmet a mátrixok - a mátrix formájában lineáris operátorok. Egyenlet (59) formájában \ [(\ alpha - \ lambda E) u = 0. \] Itt \ (E \) - az identitás mátrix, és \ (\ alpha \) - mátrix formájában a mi lineáris operátor \ (A \). Ez az arány lehet értelmezni, mint egy rendszer \ (n \) lineáris egyenletek a \ (n \) ismeretlen - a koordinátáit \ (u \). És ez egy homogén egyenletrendszert, és meg kell találni neki egy triviális megoldás. Korábban volt az állapota miatt az ilyen megoldás - szükséges és elégséges, hogy a rangot a rendszer kevesebb volt, mint az ismeretlenek száma. Ezért az egyenlet a sajátértékek: \ [det (\ alpha - \ lambda E) = 0. \ Quad \ quad (60) \]
Definíció. Egyenlet (60) nevezzük a karakterisztikus egyenlet lineáris operátor \ (A \).
Bemutatjuk a tulajdonságait egyenlet és megoldásokat. Ha az írási kifejezetten, megkapjuk egy egyenlet formájában \ [(-1) ^ n \ lambda ^ n +. + Det (A) = 0. \ Quad \ quad (61) \] A bal oldalon egy polinomiális a változó \ (\ lambda \). Az ilyen egyenletek nevezzük algebrai fokú \ (n \). Adja meg a szükséges információkat az egyenletek.
Segítség algebrai egyenletek.
Algebra alaptétele. Egyenlet (61) van egy megoldás a komplex síkon \ (\ mathbb \).
Következmény. Egyenlet (61) van a komplex síkban, mint oldatok, annak mértéke (döntéseket figyelembe véve a multiplicitás).
Példa. Tekintsük az egyenlet \ [\ lambda (\ lambda-1) ^ 2 (\ lambda + 1) ^ 3 = 0. \] Ez az egyenlet 6 fok. Azt a következő oldatokat: \ (\ lambda = 0 \), \ (\ lambda = 1 \), \ (\ lambda = -1 \), és a sok az első oldat egyenlő 1 (az ilyen megoldásokra van egyszerű gyökerek), a multiplicitás második megoldások 2, a harmadik sokaságának megoldások értéke 3. döntések sokasága nagyobb, mint 1, az úgynevezett multiplex. A mi esetünkben, 1 + 2 + 3 = 6. Egyenletek fokú \ (n \ GEQ 5 \) nem lehet megoldani gyökök (Abel-Ruffini tétel). Az egyenletek fokú \ (n = 2,3,4 \) ilyen kifejezett képletű léteznek. A gyakorlatban azonban az egyenlet a magas fokú lehet sikeresen megoldani a számítógép segítségével. Így fogjuk fel, hogy van valamilyen módon össze egy egyenlet megoldása (61).
Azt a kérdést, az építőiparban a sajátvektor megfelelő ismert sajátérték \ (\ lambda _K \). Ehhez viszont a egyenlet \ [(\ alpha - \ lambda_k E) u = 0. \] Ez az egyenlet lehet értelmezni, mint egy lineáris egyenletrendszer a koordinátái \ (u \) - sajátvektor megfelelő sajátérték \ (\ lambda _K \). Továbbá, ez a rendszer egy triviális megoldás, hiszen a rangot a rendszer kevesebb, mint az ismeretlenek száma. Megoldása ez a rendszer a Gauss módszer, tudjuk meg a koordinátákat \ (u \). Megy keresztül, minden értéket \ (\ lambda _K \), \ (k = 1,2. N \), megtalálja a megfelelő sajátvektorok \ (u_k \).
Példa. Mi található a sajátvektor és sajátérték egy lineáris transzformáció adott némi alapja következő mátrix: \ [A = \ left (\ begin5 -7 \\ 0-3 1 0 \\ 12 6 -3 \ end \ jobbra). \] Mátrix \ (A- \ lambda E \) ebben az esetben a formája: \ [A- \ lambda E = \ left (\ begin5 - \ lambda -7 \\ 0-3 1- \ lambda 0 \\ 12 6 -3 - \ lambda \ end \ jobbra). \] Compute determinánst \ (det (A- \ lambda E) \) és írja le a sajátérték egyenletet: \ [det (A- \ lambda E) = - (\ lambda +3) (\ lambda ^ 2-6 \ lambda -16) = 0. \] Ezért tapasztaljuk, hogy sajátértékei 3: \ (\ lambda _1 = -3, \ lambda _2 = 8, \ lambda _3 = -2 \). Kaptunk 3 sobsvennyh értékeket, mindannyian sokaságának 1, azaz Ez az egyszerű sajátértékek. Kiszámoljuk a megfelelő sajátvektor.
1. Tekintsük \ (\ lambda _1 = -3 \). A megfelelő egyenletet a sajátvektor \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) az a forma: \ [\ left (\ begin8 -7 \\ 0-3 4 0 \\ 12 6 0 \ end \ right) \ left (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ right) = 0, \], ahol a megfelelő nulla 3-vektor. Ez a rendszer az egyenletrendszert 3 ismeretlen a következő oldatot: \ (u = (0,0,1) ^ T \).
2. Tekintsük \ (\ lambda _2 = 8 \). A megfelelő egyenletet a sajátvektor \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) az a forma: \ [\ left (\ kezdődik-3 -7 \\ 0-3 -7 0 \\ 12 6 5 \ end \ right) \ left (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ right) = 0, \], ahol a megfelelő nulla 3-vektor. Ez a homogén rendszerben az egyenletrendszert az ismeretlenek \ (u_1, u_2, u_3 \) van egy megoldás: \ (u = (7, 3, 0) ^ T \).
3. Nézzük \ (\ lambda _3 = -2 \). A megfelelő egyenletet a sajátvektor \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) az a forma: \ [\ left (\ begin7 -7 \\ 0-3 3 0 \\ 12 6 -1 \ end \ right) \ left (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ right) = 0, \], ahol a jobb oldali nulla-3 vektorba. Ez a homogén rendszerben az egyenletrendszert az ismeretlenek \ (u_1, u_2, u_3 \) van egy megoldás: \ (u = (1,1,0 részt) ^ T \).
Tulajdonságok sajátvektorok
Tétel. Tegyük fel, hogy minden sajátértékei a lineáris operátor \ (A \) - egyszerű. Ezután a beállított sajátvektorok ezeknek megfelelő sajátértékek alapját képezi a vektortér.
Ebből következik a feltételeket, a tétel, hogy a sajátértékek \ (A \) különböznek. Tegyük fel, hogy egy sor vektorok lineárisan függ a saját, tehát van egy állandó \ (c_1, c_2 C_n \.), Amelyek nem mindegyike nulla, a feltételt kielégítő: \ [\ ^ sum_ nc_ku_k = 0. \ Quad \ quad (62) \]
Vegyük például képletek között olyan, amely tartalmaz egy minimális számú kifejezést, és cselekedni az üzemeltető \ (A \). Fogva linearitás kapjuk: \ [A \ bal (\ sum_ ^ nc_ku_k \ right) = \ sum_ ^ nc_kAu_k = \ sum_ ^ nc_k \ lambda _ku_k = 0. \ Quad \ quad (63) \]
Hogy pontos legyek, \ (c_1 \ neq 0 \). Szorzás (62) által \ (\ lambda _1 \) és kivonva (63), megkapjuk az összefüggésben a forma (62), de amely kevesebb, mint egy távon. Ez az ellentmondás bizonyítja az állítást.
Tehát a körülmények a tétel van alapja társul egy adott lineáris operátor - alapján a saját vektorok. Tekintsük a mátrix formában az üzemeltető ezen az alapon. Amint a fentiekben említettük, \ (k \) - edik oszlopa ez a mátrix - ez a bővítés a vektor \ (Au_k \) az alapon. A definíció szerint azonban \ (Au_k = \ lambda _ku_k \), úgy, hogy ez a bővülés (ami meg van írva ki a jobb oldalon) tartalmaz csak egy kifejezésnek és egy diagonális mátrix, épített. Ennek eredményeként, azt találjuk, hogy a tétel feltételei mátrix formában alapján a sajátvektorok egyenlő \ (diag (\ lambda _1 \ lambda _2. \ Lambda _n) \). Ezért, ha azt szeretné, hogy dolgozzon ki egy funkcionális kalkulus lineáris operátor elfogadható alapon dolgozni a saját vektorok.
Ha egyes sajátértékek a lineáris operátor többszöröse a helyzet még nehezebbé válik, és magában az úgynevezett Jordan sejtekben. Felhívjuk az olvasó, hogy a fejlettebb kézikönyvek, hogy tanulmányozza az érintett helyzetek.
Keresse meg a sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor által meghatározott bizonyos alap mátrix \ (A \).
1. \ [A = \ left (\ begin0 1 \\ 0-3 4 \\ 0 - 2 az 1 4 \ end \ right). \]
2. \ [A = \ left (\ kezdődik-3 2 \\ 0 - 2 az 1 0 \\ 15 -7 4 \ end \ right). \]
3. \ [A = \ left (\ begin4 0 5 \\ 7 -2 9 \\ 3 0 6 \ end \ right). \]
4. \ [A = \ left (\ kezdődik-1 -2 12 \\ 0 4 3 \\ 0 5 6 \ end \ right). \]