mátrix algebra
úgynevezett mátrix mérete.
Ez az úgynevezett egy négyzetes mátrix a rend n, ha a szám egyenlő a számát a sorok és oszlopok egyenlő n:
Rendezett halmaza elemek A11, A22, ..., Ann úgynevezett fő átlós, viszont, A1N, A2, n-1, ..., AN1 - másodlagos diagonális mátrix. Egy négyzetes mátrix, amelynek elemei kielégítik azt a feltételt:
úgynevezett diagonális, azaz diagonális mátrix formájában:
Diagonális mátrix n-edrendű úgynevezett azonosságát, ha minden eleme a fő diagonális egyenlő 1. bármilyen méretű mátrixot nevezzük nulla vagy nullmátrix ha elemek mind nullával egyenlő. Az identitás mátrix jelöli a betű, a nulla - O. mátrixok a formában:
Lineáris műveleteket mátrixok
Definíció. Sum mátrix A = (Aij) és B = (bij) azonos méretű
a C mátrix = (Sij) az azonos méretű, úgy, hogy CIJ = aij + bij minden i és j.
.
Így, annak érdekében, hogy meghatározzák az A és B mátrix, meg kell határozni annak elemeit állva ugyanazon a földön. Például,
Definíció. A termék számának A mátrix egy olyan mátrix, LA L = (l Aij) szorzatából minden elemét a mátrix száma l.
A különbség a A és B mátrix lehet egyenlettel határozzák meg: A = A + (- 1).
A fenti műveletek nevezzük lineáris.
Megjegyzés egyes tulajdonságok műveleteket.
Legyen A, B, C - azonos méretű a mátrix; a, b - valós szám.
A + B = B + A - kommutativitás.
(A + B) + C = A + (B + C) - asszociatív mellett.
Körülbelül álló mátrixot nullák, játszik a szerepe nulla: A + O = A.
Bármely Matica ellenkező -A Egy létezik, mely elemek eltérnek a jele az elemek A, ahol A + (-A) = O.
a (BA) = (ab) A = (AA) b. 6. (a + b) = A + aA Ba.
7. Egy (A + B) = aA + AB. 8. 1 * A = A 0 * 9. A = 0.
A mátrix algebra fontos szerepet játszik mátrix szorzás ez egy nagyon sajátos működését.
Definíció. A terméket a mátrix A = (Aij) mérete
és egy derékszögű mátrix B = (bij) mérete
nevezett derékszögű mátrix C = (Sij) mérete
, oly módon, hogy CIJ = AI1 + B1J + AI2 + b2j + ... + aik + BKJ;
.
.
Ezáltal az elem mátrix termék az A és B, állva az i-edik sorának és j-edik oszlop összegével egyenlő a termékek elemek i-edik sorának az első mátrix a megfelelő elemek A j-edik oszlopban a második mátrixot, azaz
.
Termék C = AB meghatározzuk, hogy az oszlopok száma a mátrix megegyezik a sorok számát a mátrix B. Ez a feltétel, valamint a méretei a mátrixok leírható a rendszer:
Nyilvánvaló, hogy a négyzetes mátrix szorzás művelet mindig meghatározva.
Példák. Mi található a termék mátrixok AB és a BA, ha léteznek.
,
.
,
.
Így kommutatív (kommutatív) törvénye szorzás mátrixok, általában nem teljesül, azaz
Abban a különleges esetben, kommutatív törvény termék vagy egy négyzetes mátrix Egy n-ed rendű egység mátrix E az ugyanabban a sorrendben, azaz
,
.
Mert ezek a mátrixok, mint a termék AB és a BA nem létezik.
,
, VA - nem létezik.
Tulajdonságok mátrix szorzás.
Legyen A, B, C - a mátrix megfelelő méretű (azaz a termék a mátrixok meghatározott), l - valós szám. Ezután a meghatározások alapján a műveletek tulajdonságainak és a valós számok a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(AB) C = A (BC) - asszociatív.
(A + B) C + BC = AC - disztributivitás.
A (B + C) = AB + AC - disztributivitás.
EA = AE = A négyzetes mátrixok az identitás mátrix E szerepét játssza a készülék.
Itt egy példa az egyetlen bizonyíték tulajdonságait. Azt állítjuk, például ingatlan 3.
Tegyük fel, hogy A = (Aij), B = (bij), C = (CIJ) mátrix azonosított termék. Azt találjuk, egy elem i-edik sorának és j-edik oszlopa A mátrix (B + C). Ez lesz a szám
Az első összeg a jobb oldali az elem az i-edik sorának és j-edik oszlopa a mátrix AB, és a második elem az összegével egyenlő az i-edik sorának és j-edik oszlopa a mátrix AS. Az érvelés igaz minden i és j, az ingatlan 3 bizonyított.
Feladat 1. Ellenőrizze az asszociativitás mátrix 1:
,
,
.
Feladat 2. Ellenőrizze a forgalmazás és ingatlan 2 mátrixok:
,
,
.
3. gyakorlat Find A mátrix 3. ha
.
Degenerált és nem degenerált mátrix
Definíció. A mátrix az úgynevezett degenerált, ha determinánsa nulla, és egy nem-degenerált, ha a meghatározója a mátrix nullától eltérő.
,
0; A - nonsingular mátrix.
,
= 12-12 = 0; A - A degenerált mátrix.
Tétel. A termék a mátrixok szinguláris mátrix, ha, és csak akkor, ha legalább az egyik olyan tényező, egy degenerált mátrix.
Szükségszerűség. Let AB - szinguláris mátrix, azaz a
= 0. Ezután annak a ténynek köszönhető, hogy a meghatározó a termék mátrixok a termék meghatározó tényezők szorzatát mátrixok van
Ez azt jelenti, hogy legalább az egyik A és B mátrix egy degenerált.
Megfelelősége. Hagyja, hogy a mátrix termék AB Egy degenerált, azaz
= 0; AB - szinguláris mátrix.
Megjegyzés. A fenti tétel érvényes minden számos tényező.
Definíció. A négyzetes mátrix az úgynevezett inverz A mátrix az azonos méretű, ha
,
.
B - mátrix inverz A.
Tétel. Ha az inverz létezik, egyedileg határozzuk meg egy adott mátrix.
Tegyük fel, hogy az A mátrix létezik mátrixok X és Y, oly módon, hogy
Megszorozva az egyik egyenletek, például, AH = E maradt Y, azt kapjuk, V (Ax) = YE. Azáltal asszociatív szorzás, van (UA) X = CU. Mivel a V = E, EX = UE, azaz X = Y. tétel.
Tétel (szükséges és elégséges feltétele a létezését a fordított mátrix).
Az inverz mátrix -1 fennáll, ha, és csak akkor, ha az eredeti mátrix A jelentése nonsingular.
Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy van egy inverz A -1 a mátrix A. azaz A
A = E. Ekkor, ½A
A -1 ½ = ½A½
-1 ½ = ½A ½E½ = 1, azaz a ½A½
0 és -1 ½ ½A
0; A - nem degenerált.
Megfelelősége. Tegyük fel, hogy egy nem-szinguláris mátrix n-edrendű
,
úgy, hogy a meghatározó
0. tartjuk álló mátrixot a kofaktorok a mátrix elemeinek A:
,
ez az úgynevezett a csatlakozómodulok a mátrix A.
Meg kell jegyezni, hogy a kofaktorok az elemek az i-dik sora az A jelentése az i-edik oszlopa A mátrix *. mert
.
Azt találjuk, a termék a mátrixok és az AA * AA * AA * jelöljük C, akkor definíció szerinti termék mátrixok: Sij = AI1 A 1j + AI2 A 2j + ... + AIN ANJ; i = 1, n: J = 1, n.
Amikor i = j kapjunk összege termékek elemek I - edik sora kofaktorok az ugyanabban a sorban, az ilyen összeg megegyezik az érték a meghatározó. Így Sij = | A | = D - az elemek a fő diagonális mátrix S. Amikor i
j, azaz Sij elemeket kívül a fő diagonális mátrix C, van az összeg a termékek valamennyi eleme egy sorban a kofaktorok másik sorban, ez az összeg egyenlő nullával. Így
Hasonlóképpen, ha bebizonyosodik, hogy az A termék az A * egyenlő az azonos C mátrix tehát, hogy van egy = A * AA * = S. A fentiekből következik, hogy a
Ezért, ha az inverz mátrix veszi
Tehát az inverz mátrix létezik, és a forma:
Példa. Találunk a mátrix inverz erre:
Keresse D = | A | = -1 ¹ 0, A
ott. További találunk cofactors mátrix elemei A:
=
=
=