Mátrix algebra alapfogalmait
Mátrix algebra fogalmak
Definíció. Egy téglalap alakú táblázata m sorból és n oszlopból, tele néhány matematikai objektumok nevezett - mátrix.
Figyelembe vesszük a numerikus mátrixban. A számok teszik ki a mátrix nevezzük elemeit. Ahhoz, hogy olvassa el a mátrix, mint szabály, zárójelben. A felvétel, az általános formája a mátrix elemek által kijelölt ugyanazon levél két index, amelyek közül az első jelzi a sor számát, és a második - a mátrix oszlop index. Például, a mátrix
Gyorsírásos: A = (Aij); ahol Aij - valós számok, i = 1,2, ... m;
J = 1,2, ..., n (röviden ..). A munka az úgynevezett mátrix méretét.
Ez az úgynevezett egy négyzetes mátrix a rend n, ha a szám egyenlő a számát a sorok és oszlopok egyenlő n:
Rendezett halmaza elemek A11, A22, ..., Ann úgynevezett fő átlós, viszont, A1N, A2, n-1, ..., AN1 - másodlagos diagonális mátrix. Egy négyzetes mátrix, amelynek elemei kielégítik azt a feltételt:
úgynevezett diagonális, azaz diagonális mátrix formájában:
Diagonális mátrix n-edrendű úgynevezett azonosságát, ha minden eleme a fő diagonális egyenlő 1. bármilyen méretű mátrixot nevezzük nulla vagy nullmátrix ha elemek mind nullával egyenlő. Az identitás mátrix jelöli a betű, a nulla - O. mátrixok a formában:
Lineáris műveleteket mátrixok
Definíció. Sum mátrix A = (Aij) és B = (bij) egyenlő méretű a C mátrix = (Sij) az azonos méretű, úgy, hogy CIJ = aij + bij minden i és j.
Így, annak érdekében, hogy meghatározzák az A és B mátrix, meg kell határozni annak elemeit állva ugyanazon a földön. Például,
Definíció. A termék számának A mátrix egy olyan mátrix, A = (Aij) szorzatából minden elemét az A mátrixot számát.
Például, ha n = 5, akkor
A különbség a A és B mátrix lehet egyenlettel határozzák meg: A = A + (- 1).
A fenti műveletek nevezzük lineáris.
Megjegyzés egyes tulajdonságok műveleteket.
Legyen A, B, C - az azonos méretű mátrix;. - valós szám.
A + B = B + A - kommutativitás.
(A + B) + C = A + (B + C) - asszociatív mellett.
Körülbelül álló mátrixot nullák, játszik a szerepe nulla: A + O = A.
Bármely Matica ellenkező -A Egy létezik, mely elemek eltérnek a jele az elemek A, ahol A + (-A) = O.
7. (A + B) = A + B 8. 1 * A = A 0 * 9. A = 0.
A mátrix algebra fontos szerepet játszik mátrix szorzás ez egy nagyon sajátos működését.
Definíció. A terméket a mátrix A = (Aij) és méretét egy derékszögű mátrix B = (bij) méretű négyszögletes mátrixot nevezzük C = (Sij) méretezve, hogy CIJ = AI1 + B1J + AI2 + b2j + ... + aik + BKJ; . .
Ezáltal az elem mátrix termék az A és B, állva az i-edik sorának és j-edik oszlop összegével egyenlő a termékek elemek i-edik sorának az első mátrix a megfelelő elemek A j-edik oszlopban a második mátrixot, azaz
Termék C = AB meghatározzuk, hogy az oszlopok száma a mátrix megegyezik a sorok számát a mátrix B. Ez a feltétel, valamint a méretei a mátrixok leírható a rendszer:
Nyilvánvaló, hogy a négyzetes mátrix szorzás művelet mindig meghatározva.
Példák. Mi található a termék mátrixok AB és a BA, ha léteznek.
Így kommutatív (kommutatív) törvénye szorzás mátrixok, általában nem teljesül, azaz Abban a különleges esetben, kommutatív törvény termék vagy egy négyzetes mátrix Egy n-ed rendű egység mátrix E az ugyanabban a sorrendben, azaz
Mert ezek a mátrixok, mint a termék AB és a BA nem létezik.
Megszerezni, VA - nem létezik.
Tulajdonságok mátrix szorzás.
Legyen A, B, C - a mátrix megfelelő méretű (azaz a termék a mátrixok definiált), - valós szám. Ezután a meghatározások alapján a műveletek tulajdonságainak és a valós számok a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(AB) C = A (BC) - asszociatív.
(A + B) C + BC = AC - disztributivitás.
A (B + C) = AB + AC - disztributivitás.
EA = AE = A négyzetes mátrixok az identitás mátrix E szerepét játssza a készülék.
Itt egy példa az egyetlen bizonyíték tulajdonságait. Azt állítjuk, például ingatlan 3.
Tegyük fel, hogy A = (Aij), B = (bij), C = (CIJ) mátrix azonosított termék. Azt találjuk, egy elem i-edik sorának és j-edik oszlopa A mátrix (B + C). Ez lesz a szám
Az első összeg a jobb oldali az elem az i-edik sorának és j-edik oszlopa a mátrix AB, és a második elem az összegével egyenlő az i-edik sorának és j-edik oszlopa a mátrix AS. Az érvelés igaz minden i és j, az ingatlan 3 bizonyított.
Feladat 1. Ellenőrizze az asszociativitás mátrix 1:
Feladat 2. Ellenőrizze a forgalmazás és ingatlan 2 mátrixok:
Feladat 3. Keresse meg a mátrix 3 ha.
Degenerált és nem degenerált mátrix
Definíció. A mátrix az úgynevezett degenerált, ha determinánsa nulla, és egy nem-degenerált, ha a meghatározója a mátrix nullától eltérő.
Példa. = 16-15 = 1 0; A - nonsingular mátrix.
, = 12-12 = 0; A - A degenerált mátrix.
Tétel. A termék a mátrixok szinguláris mátrix, ha, és csak akkor, ha legalább az egyik olyan tényező, egy degenerált mátrix.
Szükségszerűség. Let AB - szinguláris mátrix, azaz a = 0. Ezután, annak a ténynek köszönhető, hogy a determináns a termék a mátrixok a termék meghatározó mátrixok megszorozva, van Ez azt jelenti, hogy legalább az egyik A és B mátrix egy degenerált.
Megfelelősége. Hagyja, hogy a mátrix termék AB Egy degenerált, azaz = 0. Fogjuk találni, mint = 0; Tehát = 0; AB - szinguláris mátrix.
Megjegyzés. A fenti tétel érvényes minden számos tényező.
Definíció. A négyzetes mátrix az úgynevezett inverz A mátrix az azonos méretű, ha
B - mátrix inverz A.
Tétel. Ha az inverz létezik, egyedileg határozzuk meg egy adott mátrix.
Tegyük fel, hogy az A mátrix létezik mátrixok X és Y, oly módon, hogy
Megszorozva az egyik egyenletek, például, AH = E maradt Y, azt kapjuk, V (Ax) = YE. Azáltal asszociatív szorzás, van (UA) X = CU. Mivel a V = E, EX = UE, azaz X = Y. tétel.
Tétel (szükséges és elégséges feltétele a létezését a fordított mátrix).
Az inverz mátrix -1 fennáll, ha, és csak akkor, ha az eredeti mátrix A jelentése nonsingular.
Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy van egy inverz A -1 a mátrix A. azaz A A -1 = A-1 A = E. Ekkor, AA -1 = A -1 A = E = 1, azaz a A 0 és A 0 -1; A - nem degenerált.
Megfelelősége. Tegyük fel, hogy egy nem-szinguláris mátrix n-edrendű
úgy, hogy a determináns értéke 0. Tekintsük a mátrix álló kofaktorok a mátrix elemeinek A:
ez az úgynevezett a csatlakozómodulok a mátrix A.
Meg kell jegyezni, hogy a kofaktorok az elemek az i-dik sora az A jelentése az i-edik oszlopa A mátrix *. A.
Amikor = j kapjunk összege termékek elemek - edik sora kofaktorok az ugyanabban a sorban, az ilyen összeg megegyezik az érték a meghatározó. Így Sij = | A | = - a fő diagonális mátrix elemeit C-on j, azaz Sij elemeket kívül a fő diagonális mátrix C, van az összeg a termékek valamennyi eleme egy sorban a kofaktorok másik sorban, ez az összeg egyenlő nullával. Tehát = AA *
Hasonlóképpen, ha bebizonyosodik, hogy az A termék az A * egyenlő az azonos C mátrix tehát, hogy van egy = A * AA * = S. A fentiekből következik, hogy a
Ezért, ha az inverz mátrix vegye Tehát az inverz mátrix létezik, és a forma:
Példa. Találunk a mátrix inverz erre:
Find = | A | 0 = -1, A létezik. További találunk cofactors mátrix elemei A:
A = 0; A = -1; A = 3;
A = -3; A = 3; A = -4;
A = 1; A = -1; A = 1;